1. Покажите, что тройка векторов е1(1;0;0), е2(1;1;0), е3(1;1;1) является базисом. 2. Выразите вектор а(–2;0;–1) через

Солнечный_Пирог

59

Хорошо, давайте решим каждую задачу по порядку:

1. Чтобы показать, что тройка векторов \(е_1(1;0;0)\), \(е_2(1;1;0)\) и \(е_3(1;1;1)\) является базисом, нам нужно убедиться в двух вещах: эти векторы линейно независимы и они порождают всё пространство.

а) Линейная независимость: Для этого предположим, что существуют такие числа \(a\), \(b\) и \(c\), что \(a е_1 + b е_2 + c е_3 = 0\). Мы должны доказать, что \(a = b = c = 0\). Подставим значения векторов и получим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
a + b + c = 0 \\
b + c = 0 \\
c = 0
\end{cases}
\]

Из второго уравнения получаем \(b = -c = 0\), затем из первого уравнения \(a = -b = 0\). Таким образом, единственное решение этой системы уравнений - это \(a = b = c = 0\), что и говорит о линейной независимости.

б) Порождение всего пространства: Любой вектор в трехмерном пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации \(a е_1 + b е_2 + c е_3\), где \(а\), \(b\) и \(с\) - произвольные числа. Таким образом, эта тройка векторов порождает всё пространство.

Таким образом, тройка векторов \(е_1(1;0;0)\), \(е_2(1;1;0)\) и \(е_3(1;1;1)\) является базисом.

2. Чтобы выразить вектор \(а(-2;0;-1)\) через базис из предыдущего вопроса (пункт 1), нам нужно найти такие числа \(x\), \(y\) и \(z\), что \(x е_1 + y е_2 + z е_3 = а\). Подставим значения и решим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x + y + z = -2 \\
y + z = 0 \\
z = -1
\end{cases}
\]

Из второго уравнения найдем \(y = -z = 1\), затем из первого уравнения получим \(x = -y - z = -1\). Таким образом, вектор \(а(-2;0;-1)\) может быть выражен через данную базисную тройку как \(-е_1 + е_2 - е_3\).

3. Чтобы найти расстояние от точки А(1;1) до прямой с уравнениями \(x = -1+2t\), \(y = -1-6t\), мы можем использовать формулу для расстояния между точкой и прямой в двумерном пространстве. Расстояние можно вычислить, используя формулу \(d = \frac{{\left| ax_0 + by_0 + c \right|}}{{\sqrt{a^2 + b^2}}}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - это коэффициенты прямой, а \(x_0\) и \(y_0\) - координаты точки.

В данном случае имеем \(a = 2\), \(b = -6\), \(c = 0\), \(x_0 = 1\) и \(y_0 = 1\). Подставляя значения в формулу, получаем:

\[
d = \frac{{\left| 2 \cdot 1 + (-6) \cdot 1 + 0 \right|}}{{\sqrt{2^2 + (-6)^2}}} = \frac{{\left| -4 \right|}}{{\sqrt{40}}} = \frac{4}{\sqrt{40}} = \frac{2}{\sqrt{10}}
\]

Таким образом, расстояние от точки А(1;1) до прямой равно \(\frac{2}{\sqrt{10}}\).

4. Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку А(1;1;-1) и перпендикулярной плоскостям \(2x-y+5z+3 = 0\) и \(x+3y-z-7 = 0\), можем воспользоваться знанием того, что нормальный вектор к плоскости будет перпендикулярен этой плоскости.

Найдем нормальный вектор плоскости, параллельной плоскости \(2x-y+5z+3 = 0\) и проходящей через точку А. Он будет перпендикулярен обоим векторам соответствующим плоскостям. Берем их нормальные векторы и проведем векторное произведение:

\[
\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 5 \\ 1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = 2\vec{i} + 11\vec{j} + 7\vec{k}
\]

Получаем нормальный вектор плоскости равным \(\vec{n} = (2, 11, 7)\).

Теперь мы можем записать уравнение плоскости, используя найденный нормальный вектор и точку А:

\(2(x - 1) + 11(y - 1) + 7(z + 1) = 0\)

Упростим:

\(2x + 11y + 7z - 15 = 0\)

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку А(1;1;-1) и перпендикулярной плоскостям \(2x-y+5z+3 = 0\) и \(x+3y-z-7 = 0\), равно \(2x + 11y + 7z - 15 = 0\).

5. Чтобы найти уравнения проекции прямой \(\frac{{x - 4}}{3} = \frac{{y + 1}}{-2} = \frac{z}{4}\) на плоскость \(x - 3y - z + 8 = 0\), мы можем использовать метод ортогональной проекции. Проекция прямой на плоскость является прямой, лежащей в этой плоскости.

Плоскость задана уравнением \(x - 3y - z + 8 = 0\), что можно переписать в виде \(z = x - 3y + 8\).

Теперь мы можем подставить выражение для \(z\) в уравнение прямой и получить два уравнения:

\(\frac{{x - 4}}{3} = \frac{{y + 1}}{-2}\) и \(x - 3y + 8 = 0\)

Найдем решение этой системы уравнений. Умножим первое уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

\(2(x - 4) = -3(y + 1)\)

\(2x - 8 = -3y - 3\)

\(2x + 3y = 5\)

Теперь мы можем записать уравнение проекции прямой:

\(2x + 3y = 5\)

Таким образом, уравнение проекции прямой \(\frac{{x - 4}}{3} = \frac{{y + 1}}{-2} = \frac{z}{4}\) на плоскость \(x - 3y - z + 8 = 0\) это \(2x + 3y = 5\).