1. Постройте диаграмму функции: 6) y = 3x + 2. а) Сравните y и 2x; Меняется ли функция на всем множестве

Рыжик

15

1. Для построения диаграммы функции \(y = 3x + 2\) нам нужно знать ее значения для различных значений \(x\). Давайте выберем несколько значений \(x\) и найдем соответствующие значения \(y\):

При \(x = -2\): \(y = 3(-2) + 2 = -4\).

При \(x = -1\): \(y = 3(-1) + 2 = -1\).

При \(x = 0\): \(y = 3(0) + 2 = 2\).

При \(x = 1\): \(y = 3(1) + 2 = 5\).

При \(x = 2\): \(y = 3(2) + 2 = 8\).

Теперь, используя найденные значения, построим график, где координаты точек будут \((x, y)\). Обратите внимание, что рисуем график только на основе дискретных точек, а не на всем множестве действительных чисел.

\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\ \hline
-2 & -4 \\
-1 & -1 \\
0 & 2 \\
1 & 5 \\
2 & 8 \\
\end{array}
\]

Теперь свяжем все точки прямыми линиями:

\(\text{График функции } y = 3x + 2\):

\[
\begin{array}{|c|}
\hline
\\
\begin{array}{cccccccccccc}
& & & & & & & & & & & \\
& & & & & & & & & & & \\
& & & & & & & & & & & \\
& & & & & & & & & & & \\
\end{array}\\
\\
\hline
\end{array}
\]

Теперь перейдем ко второй части задачи.

а) Сравним функцию \(y\) и \(2x\).

Подставим несколько значений \(x\) и найдем значения \(y\) и \(2x\). Проверим, совпадают ли они.

При \(x = -2\):

\(y = 3(-2) + 2 = -4\) и \(2x = 2(-2) = -4\).

При \(x = -1\):

\(y = 3(-1) + 2 = -1\) и \(2x = 2(-1) = -2\).

При \(x = 0\):

\(y = 3(0) + 2 = 2\) и \(2x = 2(0) = 0\).

При \(x = 1\):

\(y = 3(1) + 2 = 5\) и \(2x = 2(1) = 2\).

При \(x = 2\):

\(y = 3(2) + 2 = 8\) и \(2x = 2(2) = 4\).

Мы видим, что значения \(y\) и \(2x\) не совпадают для всех проверенных значений \(x\). Это означает, что функция \(y = 3x + 2\) не равна функции \(2x\) на всем множестве \(R\).

2. Теперь построим график функции \(y = (x - 1)^2 - 14\).

Давайте выберем несколько значений \(x\) и найдем соответствующие значения \(y\):

При \(x = -2\): \(y = (-2 - 1)^2 - 14 = (-3)^2 - 14 = 9 - 14 = -5\).

При \(x = -1\): \(y = (-1 - 1)^2 - 14 = (-2)^2 - 14 = 4 - 14 = -10\).

При \(x = 0\): \(y = (0 - 1)^2 - 14 = (-1)^2 - 14 = 1 - 14 = -13\).

При \(x = 1\): \(y = (1 - 1)^2 - 14 = (0)^2 - 14 = 0 - 14 = -14\).

При \(x = 2\): \(y = (2 - 1)^2 - 14 = (1)^2 - 14 = 1 - 14 = -13\).

Теперь отобразим эти значения на графике:

\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\ \hline
-2 & -5 \\
-1 & -10 \\
0 & -13 \\
1 & -14 \\
2 & -13 \\
\end{array}
\]

\(\text{График функции } y = (x - 1)^2 - 14\):

\[
\begin{array}{|c|}
\hline
\\
\begin{array}{cccccccccccc}
& & & & & & & & & & & \\
& & & & & & & & & & & \\
& & & & & & & & & & & \\
& & & & & & & & & & & \\
\end{array}\\
\\
\hline
\end{array}
\]

Чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции, нам нужно исследовать производную функции. Для этого продифференцируем \(y\) по \(x\):

\[
\frac{dy}{dx} = 2(x-1)
\]

Приравняем производную к нулю и найдем точку экстремума:

\[
2(x-1) = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1
\]

Таким образом, функция имеет стационарную точку при \(x = 1\).

Исследуем интервалы слева и справа от \(x = 1\) на возрастание и убывание функции. Для этого возьмем несколько значений \(x\) на каждом интервале и найдем соответствующие значения \(y\):

При \(x = 0\): \(y = (0 - 1)^2 - 14 = (-1)^2 - 14 = 1 - 14 = -13\).

При \(x = 1/2\): \(y = (1/2 - 1)^2 - 14 = (-1/2)^2 - 14 = 1/4 - 14 = -55/4\).

При \(x = 1\): \(y = (1 - 1)^2 - 14 = 0^2 - 14 = -14\).

При \(x = 3/2\): \(y = (3/2 - 1)^2 - 14 = (1/2)^2 - 14 = 1/4 - 14 = -55/4\).

При \(x = 2\): \(y = (2 - 1)^2 - 14 = 1^2 - 14 = 1 - 14 = -13\).

Теперь построим график функции с обозначением интервалов возрастания и убывания:

\[
\begin{array}{|c|}
\hline
\\
\begin{array}{cccccccccccc}
& & & + & + & + & + & + & + & + & + & \\
& & & & & & & & & & & \\
& &