1. Постройте диаграмму функции: 6) y = 3x + 2. а) Сравните y и 2x; Меняется ли функция на всем множестве

Рыжик

15

1. Для построения диаграммы функции $y=3x+2$ нам нужно знать ее значения для различных значений $x$. Давайте выберем несколько значений $x$ и найдем соответствующие значения $y$:

При $x=-2$: $y=3(-2)+2=-4$.

При $x=-1$: $y=3(-1)+2=-1$.

При $x=0$: $y=3(0)+2=2$.

При $x=1$: $y=3(1)+2=5$.

При $x=2$: $y=3(2)+2=8$.

Теперь, используя найденные значения, построим график, где координаты точек будут $(x,y)$. Обратите внимание, что рисуем график только на основе дискретных точек, а не на всем множестве действительных чисел.

$$\begin{array}{cc}x& y\\ -2& -4\\ -1& -1\\ 0& 2\\ 1& 5\\ 2& 8\end{array}$$

Теперь свяжем все точки прямыми линиями:

$\text{График функции }y=3x+2$:

$$\begin{array}{|c|}\hline \\ \begin{array}{cccccccccccc}& & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \end{array}\\ \\ \hline\end{array}$$

Теперь перейдем ко второй части задачи.

а) Сравним функцию $y$ и $2x$.

Подставим несколько значений $x$ и найдем значения $y$ и $2x$. Проверим, совпадают ли они.

При $x=-2$:

$y=3(-2)+2=-4$ и $2x=2(-2)=-4$.

При $x=-1$:

$y=3(-1)+2=-1$ и $2x=2(-1)=-2$.

При $x=0$:

$y=3(0)+2=2$ и $2x=2(0)=0$.

При $x=1$:

$y=3(1)+2=5$ и $2x=2(1)=2$.

При $x=2$:

$y=3(2)+2=8$ и $2x=2(2)=4$.

Мы видим, что значения $y$ и $2x$ не совпадают для всех проверенных значений $x$. Это означает, что функция $y=3x+2$ не равна функции $2x$ на всем множестве $R$.

2. Теперь построим график функции $y=(x-1{)}^2-14$.

Давайте выберем несколько значений $x$ и найдем соответствующие значения $y$:

При $x=-2$: $y=(-2-1{)}^2-14=(-3{)}^2-14=9-14=-5$.

При $x=-1$: $y=(-1-1{)}^2-14=(-2{)}^2-14=4-14=-10$.

При $x=0$: $y=(0-1{)}^2-14=(-1{)}^2-14=1-14=-13$.

При $x=1$: $y=(1-1{)}^2-14=(0{)}^2-14=0-14=-14$.

При $x=2$: $y=(2-1{)}^2-14=(1{)}^2-14=1-14=-13$.

Теперь отобразим эти значения на графике:

$$\begin{array}{cc}x& y\\ -2& -5\\ -1& -10\\ 0& -13\\ 1& -14\\ 2& -13\end{array}$$

$\text{График функции }y=(x-1{)}^2-14$:

$$\begin{array}{|c|}\hline \\ \begin{array}{cccccccccccc}& & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \end{array}\\ \\ \hline\end{array}$$

Чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции, нам нужно исследовать производную функции. Для этого продифференцируем $y$ по $x$:

$$\frac{dy}{dx}=2(x-1)$$

Приравняем производную к нулю и найдем точку экстремума:

$$2(x-1)=0\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1$$

Таким образом, функция имеет стационарную точку при $x=1$.

Исследуем интервалы слева и справа от $x=1$ на возрастание и убывание функции. Для этого возьмем несколько значений $x$ на каждом интервале и найдем соответствующие значения $y$:

При $x=0$: $y=(0-1{)}^2-14=(-1{)}^2-14=1-14=-13$.

При $x=1/2$: $y=(1/2-1{)}^2-14=(-1/2{)}^2-14=1/4-14=-55/4$.

При $x=1$: $y=(1-1{)}^2-14=0^2-14=-14$.

При $x=3/2$: $y=(3/2-1{)}^2-14=(1/2{)}^2-14=1/4-14=-55/4$.

При $x=2$: $y=(2-1{)}^2-14=1^2-14=1-14=-13$.

Теперь построим график функции с обозначением интервалов возрастания и убывания:

\[
\begin{array}{|c|}
\hline
\
\begin{array}{cccccccccccc}
& & & + & + & + & + & + & + & + & + & \
& & & & & & & & & & & \
& &