1. Постройте график функции f(x) = 2/x. а) Найдите область определения функции. б) Какие значения принимает функция?

Ледяная_Магия_1900

58

Хорошо, давайте начнем с задачи. Построим график функции \(f(x) = \frac{2}{x}\).

a) Чтобы найти область определения функции, нужно определить, для каких значений \(x\) функция \(f(x)\) определена. В данном случае, функция \(f(x)\) будет определена для всех значений \(x\), кроме нуля, так как нельзя делить на ноль. Таким образом, область определения функции будет выглядеть следующим образом: \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0\}\).

б) Чтобы найти значения, которые принимает функция, нужно подставить различные значения \(x\) в функцию и вычислить \(f(x)\). Давайте сделаем это для нескольких значений \(x\):

\[
\begin{align*}
x & = 1: f(1) = \frac{2}{1} = 2 \\
x & = -2: f(-2) = \frac{2}{-2} = -1 \\
x & = \frac{1}{2}: f(\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, функция \(f(x)\) принимает различные значения в зависимости от значения \(x\). Например, при \(x = 1\) значение функции равно 2, при \(x = -2\) значение функции равно -1 и т.д.

в) Чтобы определить, является ли функция \(f(x)\) четной или нечетной, нужно проверить, выполняются ли свойства четности или нечетности.

Функция \(f(x)\) называется четной, если она удовлетворяет условию \(f(-x) = f(x)\) для всех \(x\) из области определения. Давайте проверим это:

\[
\begin{align*}
f(-x) & = \frac{2}{-x} = -\frac{2}{x} = -f(x)
\end{align*}
\]

Мы видим, что \(f(-x) = -f(x)\) для всех \(x\), поэтому функция \(f(x)\) является нечетной.

г) Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, а также интервалы, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения, нужно выполнить несколько действий.

Возрастание и убывание функции можно определить, вычислив производную функции и исследуя знак производной на разных интервалах. Однако, для данной функции мы можем заметить следующее:

- Функция \(f(x)\) положительна для всех \(x > 0\), так как знак числителя и знак знаменателя совпадают.
- Функция \(f(x)\) отрицательна для всех \(x < 0\), так как знак числителя и знаменателя различаются.
- Функция \(f(x)\) не принимает значение 0, так как знаменатель никогда не равен нулю.

Таким образом, интервалы возрастания функции \(f(x)\) - это все положительные значения \(x\), а интервалы убывания - все отрицательные значения \(x\).

Интервалы, на которых функция принимает положительные значения, - это все положительные значения \(x\). Интервалы, на которых функция принимает отрицательные значения, - это все отрицательные значения \(x\).

Таким образом, в ответе на задачу, функция \(f(x) = \frac{2}{x}\):
а) Область определения функции: \(x \in \mathbb{R}, x \neq 0\).
б) Значения функции: \(f(x)\) принимает различные значения в зависимости от значения \(x\).
в) Функция является нечетной.
г) Интервалы возрастания функции: \(x > 0\), интервалы убывания функции: \(x < 0\), интервалы, на которых функция принимает положительные значения: \(x > 0\), интервалы, на которых функция принимает отрицательные значения: \(x < 0\).