Каково значение тангенса альфа при условии, что синус альфа равен минус четырем пятых?

Молния_9194

28

Чтобы найти значение тангенса альфа, нам понадобится использовать определение тангенса через синус и косинус.

Тангенс альфа (тангα) определяется как отношение синуса альфа (синα) к косинусу альфа (косα):

\[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]

Дано, что синус альфа равен минус четырем пятых (-4/5). Давайте найдем косинус альфа (косα) по формуле Пифагора:

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \]

Подставляя значение синуса альфа, получаем:

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 \]

Вычисляем в скобках:

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} \]

\[ \cos^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} \]

\[ \cos^2 \alpha = \frac{9}{25} \]

Теперь возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти косинус альфа:

\[ \cos \alpha = \pm \frac{3}{5} \]

Получили два возможных значения для косинуса альфа: положительное и отрицательное. Теперь можем найти значение тангенса альфа, подставив полученные значения синуса и косинуса в формулу:

\[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]

Сначала подставим положительное значение косинуса:

\[ \tan \alpha = \frac{-\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} \]

Упрощаем дробь:

\[ \tan \alpha = \frac{-4}{5} \cdot \frac{5}{3} \]

\[ \tan \alpha = -\frac{4}{3} \]

Теперь подставим отрицательное значение косинуса:

\[ \tan \alpha = \frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} \]

У косинуса с минусом в числителе и знаменателе минусы сокращаются:

\[ \tan \alpha = \frac{4}{3} \]

Итак, значение тангенса альфа при условии, что синус альфа равен минус четырем пятых, равно:

\[ \tan \alpha = -\frac{4}{3} \] или \[ \tan \alpha = \frac{4}{3} \]