1) Постройте график функции y(x) = -4/x и найдите: a) Значение y при x = -2 b) Значение x, при котором y

Егор

42

1) Начнем с построения графика функции \(y(x) = -\frac{4}{x}\):

Для удобства, разобьем задание на подзадачи и решим их по порядку.

a) Значение \(y\) при \(x = -2\):
Чтобы найти значение функции \(y\) при заданном \(x = -2\), подставим \(x\) в уравнение функции и рассчитаем \(y\):

\[y(-2) = -\frac{4}{-2} = 2\]

Таким образом, при \(x = -2\) значение \(y\) равно 2.

b) Значение \(x\), при котором \(y = 8\):
Чтобы найти значение \(x\), при котором \(y = 8\), подставим \(y\) в уравнение функции и решим уравнение относительно \(x\):

\[8 = -\frac{4}{x}\]

Умножим обе части уравнения на \(x\) и решим получившееся квадратное уравнение:

\[8x = -4\]
\[x = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}\]

Таким образом, при \(y = 8\) значение \(x\) равно \(-\frac{1}{2}\).

c) Промежутки, на которых \(y(x) > 0\):
Чтобы найти промежутки, на которых \(y(x) > 0\), найдем точки, где функция пересекает ось \(x\) (т.е. где \(y = 0\)).
Решим уравнение \(y(x) = 0\) для \(x\):

\[-\frac{4}{x} = 0\]

Это уравнение не имеет решений, так как дробь не может быть равной нулю.


Таким образом, функция \(y(x) = -\frac{4}{x}\) не пересекает ось \(x\), а значит, \(y(x) > 0\) для всех значений \(x\).

d) Промежутки возрастания и убывания графика:
Чтобы найти промежутки возрастания и убывания графика, найдем точки, где производная функции равна 0 или не существует.

Вычислим производную функции \(y(x)\):

\[y"(x) = \frac{4}{x^2}\]

Производная существует для всех значений \(x\), кроме \(x = 0\).
Решим уравнение \(y"(x) = 0\):

\[\frac{4}{x^2} = 0\]

Такое уравнение не имеет решений, так как дробь не может быть равной нулю.

Значит, функция \(y(x) = -\frac{4}{x}\) не имеет точек экстремума и не меняет направление изменения на всей области определения. Таким образом, график функции является убывающим на всей области определения.

2) Чтобы определить, проходит ли график функции \(y = x^4-1\) через точку \(m(-2; -17)\), подставим координаты точки в уравнение и проверим, выполняется ли оно:

\(-17 = (-2)^4 - 1\)
\(-17 = 16 - 1\)
\(-17 = 15\)

Уравнение не выполняется, поэтому график функции \(y = x^4-1\) не проходит через точку \(m(-2; -17)\).

3) Из графика функции не получится однозначно определить количество корней уравнения \(1/x\), так как график может пересекать ось \(x\) множество раз. Чтобы определить количество корней уравнения \(1/x\), необходимо решить уравнение \(1/x = 0\).

С учетом того, что дробь не может быть равной нулю, получим:

\(\frac{1}{x} = 0\)

Это уравнение не имеет решений, так как дробь не может быть равной нулю.

Таким образом, уравнение \(1/x\) не имеет корней.