Можно ли доказать, что при любом натуральном числе n число 3^n+2 +2^3n делится

Екатерина_719

61

Конечно, я помогу вам с решением данной задачи. Для начала, заметим, что данное утверждение можно рассматривать как математическую индукцию. Давайте проверим его для начального значения n = 1.

При n = 1, у нас получается следующее:
3^1 + 2^3*1 = 3 + 2^3 = 3 + 8 = 11.

Мы видим, что 11 не делится на 11 без остатка.

Теперь проверим это утверждение для n = k + 1, предполагая, что оно выполняется для n = k. То есть, предположим, что для некоторого k число 3^k + 2^3k делится на 11 без остатка.

Теперь давайте докажем, что при n = k + 1 число 3^n + 2^3n также делится на 11 без остатка.

У нас есть:
3^(k + 1) + 2^(3(k + 1)).

Разложим это выражение:
3^(k + 1) + 2^(3k + 3).

Теперь проведем некоторые алгебраические преобразования.

3^(k + 1) + 2^(3k + 3) = 3 * 3^k + 2^3 * 2^3k.

Используя предположение индукции, мы можем заменить 3^k на 11m (где m - некоторое целое число) и 2^3k на 11n (где n - также целое число):

= 3 * 11m + 2^3 * 11n.

= 33m + 8 * 11n.

= 33m + 88n.

Теперь давайте вынесем общий множитель, и мы получим:
11(3m + 8n).

Заметим, что выражение 3m + 8n является целым числом.

Таким образом, мы показали, что если число 3^k + 2^3k делится на 11 без остатка (предположение индукции), то это утверждение также выполняется для числа 3^(k + 1) + 2^(3(k + 1)).

Так как мы уже проверили базовый случай (n = 1) и доказали, что это утверждение выполняется для произвольного n при условии, что оно выполняется для n = k, мы можем заключить, что это утверждение выполняется для любого натурального числа n.

Таким образом, при любом натуральном числе n число 3^n + 2^3n делится на 11 без остатка.