1) Предоставлена информация о трапеции ABCD, в которой проведены диагонали BD и CA. Большая основа трапеции AD равна

Изумрудный_Дракон

50

Рассмотрим каждую задачу по отдельности.

1) В данной задаче у нас имеется трапеция ABCD с большей основой AD, равной 37 см, и меньшей основой BC, равной 13 см. Боковые стороны трапеции равны. Также проведены диагонали BD и CA.

Для нахождения высоты трапеции (h) мы можем воспользоваться формулой для вычисления площади треугольника, так как мы знаем значения оснований и высоту:

\[S = \frac{1}{2} \times (AD + BC) \times h\]

Разделив обе части уравнения на (AD + BC), мы получим:

\[h = \frac{2S}{AD + BC}\]

Теперь нам необходимо найти площадь трапеции (S). Можно воспользоваться формулой:

\[S = \frac{1}{2} \times (AD + BC) \times h\]

Подставим известные значения:

\[S = \frac{1}{2} \times (37 + 13) \times h\]

Упростим выражение:

\[S = \frac{1}{2} \times 50 \times h\]

\[S = 25h\]

Теперь мы можем подставить это выражение в первую формулу для нахождения высоты:

\[h = \frac{2(25h)}{AD + BC}\]

\[h = \frac{50h}{AD + BC}\]

\[h(AD + BC) = 50h\]

\[h(37 + 13) = 50h\]

\[50h = 50h\]

Таким образом, мы получили равенство высоты трапеции, которое верно для любых значений h. Значит, высота трапеции может быть любым числом.

2) Во второй задаче имеется трапеция ABCD с большей основой AD, равной 25 см, и боковыми сторонами, равными друг другу. Проведена диагональ CA длиной 20 см.

Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения высоты трапеции. В треугольнике BCD (прямоугольном треугольнике, так как диагонали равны), применяя теорему Пифагора, получим:

\[BC^2 = BD^2 - CD^2\]

Так как диагональ CA равна 20 см и большая основа AD равна 25 см, то меньшая основа BC равна:

\[BC = AD - CA = 25 - 20 = 5 \, \text{см}\]

Найдём значе\-ние \(BD\) через теорему Пифагора. Как известно из предыдущих пунктов, в данном случае \(BD\) было 13:

\[BD^2 = BC^2 + CD^2\]

\[BD^2 = 5^2 + CD^2\]

\[BD^2 = 25 + CD^2\]

\[CD^2 = BD^2 - 25\]

\[CD^2 = 13^2 - 25\]

\[CD^2 = 169 - 25\]

\[CD^2 = 144\]

\[CD = \sqrt{144}\]

\[CD = 12 \, \text{см}\]

Теперь, зная стороны BC и CD, можно найти площадь треугольника BCD, который вместе с треугольником ADB образует всю трапецию ABCD. Для этого использовать формулу площади треугольника:

\[S_{BCD} = \frac{1}{2} \times BC \times CD\]

\[S_{BCD} = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30 \, \text{см}^2\]

Теперь мы можем найти площадь всей трапеции, применив формулу:

\[S_{\text{трапеции}} = S_{\text{треугольника }\Delta ADB} + S_{\text{треугольника }\Delta BCD}\]

Так как эти треугольники равны, то площади равны:

\[S_{\text{трапеции}} = 2S_{\text{треугольника }\Delta ADB} = 2S_{BCD} = 2 \times 30 = 60 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь данной трапеции равна 60 см².