Какой путь будет пройден телом за 5 секунд от начала прямолинейного движения, если его скорость определяется уравнением

Ябеда

12

Для решения данной задачи сначала требуется найти функцию пути \(s(t)\), которая будет описывать путь тела от начала движения в зависимости от времени.

Для этого, воспользуемся определением скорости: \(v(t) = \frac{{ds}}{{dt}}\), где \(v(t)\) - скорость, а \(s(t)\) - функция пути.

Из уравнения скорости \(v(t) = 2t + 3t^2\) можем выразить функцию пути:
\[\frac{{ds}}{{dt}} = 2t + 3t^2\]

Чтобы убрать производную, проинтегрируем обе части уравнения по переменной \(t\):
\[\int ds = \int (2t + 3t^2) dt\]

Интегрируем с каждым слагаемым по отдельности:
\[\int ds = \int 2t \, dt + \int 3t^2 \, dt\]

Проинтегрировав, получим:
\[s(t) = t^2 + t^3 + C\]

где \(C\) - константа интегрирования.

Осталось найти значение константы \(C\). Для этого воспользуемся начальным условием, что путь равен нулю при начальном времени \(t = 0\). Подставим это условие:
\[0 = (0)^2 + (0)^3 + C\]

Отсюда видно, что \(C = 0\).

Таким образом, функция пути \(s(t)\) будет иметь вид:
\[s(t) = t^2 + t^3\]

Чтобы найти путь \(s\) за 5 секунд, подставим \(t = 5\) в функцию \(s(t)\):
\[s(5) = (5)^2 + (5)^3\]
\[s(5) = 25 + 125\]
\[s(5) = 150\]

То есть, тело пройдет путь в 150 метров за 5 секунд от начала прямолинейного движения.