1. Прямоугольные треугольники ANB и AMC на рисунке (с AB = AC) равны в следующих случаях: а) когда их катеты равны

Янтарь

39

Чтобы ответить на эту задачу, давайте рассмотрим каждый случай отдельно.

а) Когда катеты треугольников ANB и AMC равны:

Пусть в треугольнике ANB катеты равны \(a\) и \(b\), а в треугольнике AMC они также равны \(a\) и \(b\).

Используя теорему Пифагора для треугольника ANB, можем записать:
\[AB^2 = a^2 + b^2\]

Аналогично, для треугольника AMC:
\[AC^2 = a^2 + b^2\]

Так как \(AB = AC\) (по условию), мы можем сказать, что \(AB^2 = AC^2\). В результате, мы получаем:
\[a^2 + b^2 = a^2 + b^2\]

Таким образом, если катеты \(a\) и \(b\) равны в обоих треугольниках, то треугольники ANB и AMC равны.

б) Когда один из катетов равен прилежащему к нему острому углу:

Пусть в треугольнике ANB катеты равны \(a\) и \(b\), и острый угол прилежащий к катету \(a\) равен \(\alpha\) градусов. В треугольнике AMC острый угол прилежащий к катету \(b\) также равен \(\alpha\).

Используя определение тригонометрических функций, мы можем записать:
\[\tan \alpha = \frac{a}{b}\] для треугольника ANB
и
\[\tan \alpha = \frac{b}{a}\] для треугольника AMC

Если \(a = b\) в обоих треугольниках, то можно утверждать, что \(\frac{a}{b} = \frac{b}{a}\), и в результате, \(\tan \alpha = \tan \alpha\).

Таким образом, если один из катетов равен прилежащему к нему острому углу в обоих треугольниках, то треугольники ANB и AMC равны.

в) Когда гипотенуза равна острому углу:

Пусть в треугольнике ANB гипотенуза равна \(c\), и острый угол прилежащий к гипотенузе равен \(\alpha\) градусов. В треугольнике AMC тоже гипотенуза равна \(c\), и острый угол прилежащий к гипотенузе также равен \(\alpha\).

Используя определение тригонометрических функций, мы можем записать:
\[\cos \alpha = \frac{a}{c}\] для треугольника ANB
и
\[\cos \alpha = \frac{b}{c}\] для треугольника AMC

Если \(c\) равно в обоих треугольниках, то можно утверждать, что \(\frac{a}{c} = \frac{b}{c}\), и в результате, \(\cos \alpha = \cos \alpha\).

Таким образом, если гипотенузы равны острому углу в обоих треугольниках, то треугольники ANB и AMC равны.

г) Когда гипотенуза равна катету:

Пусть в треугольнике ANB гипотенуза равна \(c\), а катет равен \(a\). В треугольнике AMC гипотенуза также равна \(c\), а катет равен \(b\).

Используя теорему Пифагора для треугольника ANB, можем записать:
\[AB^2 = a^2 + c^2\]

Аналогично, для треугольника AMC:
\[AC^2 = b^2 + c^2\]

Так как \(AB = AC\) (по условию), мы можем сказать, что \(AB^2 = AC^2\). В результате, мы получаем:
\[a^2 + c^2 = b^2 + c^2\]

Из этого можно сделать вывод, что \(a^2 = b^2\). Следовательно, если гипотенуза равна катету в обоих треугольниках, то треугольники ANB и AMC равны.

В итоге, мы рассмотрели все возможные случаи и пришли к выводу, что:
а) Если катеты равны в обоих треугольниках, то они равны.
б) Если один из катетов равен прилежащему острому углу в обоих треугольниках, то они равны.
в) Если гипотенузы равны острому углу в обоих треугольниках, то они равны.
г) Если гипотенуза равна катету в обоих треугольниках, то они равны.