Сколько авторучек синего цвета находится в коробке, если среди двух одновременно вытянутых авторучек обе окажутся

Сердце_Сквозь_Время

49

Давайте решим данную задачу пошагово.

Пусть общее количество авторучек в коробке равно \( n \).
Мы знаем, что из двух авторучек, выбранных одновременно, обе окажутся красного цвета с вероятностью 1/12.

Рассмотрим первую авторучку. Вероятность выбрать красную авторучку из всех авторучек равна количеству красных авторучек к общему количеству авторучек. Пусть количество красных авторучек равно \( k \), тогда вероятность выбрать красную авторучку равна \( \frac{k}{n} \).

Теперь, так как мы выбрали одну красную авторучку, осталось \( n-1 \) авторучек в коробке, из которых \( k-1 \) красная. Таким образом, вероятность выбрать вторую красную авторучку из оставшихся равна \( \frac{k-1}{n-1} \).

Мы знаем, что обе авторучки окажутся красного цвета с вероятностью 1/12, поэтому мы можем записать уравнение:

\[ \frac{k}{n} \cdot \frac{k-1}{n-1} = \frac{1}{12} \]

Теперь, решим это уравнение.

\[ \frac{k(k-1)}{n(n-1)} = \frac{1}{12} \]

\[ 12k(k-1) = n(n-1) \]

Рассмотрим возможные значения k и n и попробуем найти соответствующие значения авторучек синего цвета.

Пусть \( k = 2 \). Тогда мы имеем:

\[ 12 \cdot 2(2-1) = n(n-1) \]
\[ 12 \cdot 2 = n(n-1) \]
\[ 24 = n(n-1) \]

Мы можем заметить, что \( n = 5 \) является решением этого уравнения.

Таким образом, в коробке находится 5 авторучек синего цвета.