1) Сколько команд из четырех человек можно составить из 25 спортсменов для участия в четырехэтапной эстафете с учетом

Дельфин_9204

70

Задача 1:
Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для перестановок с повторениями, так как мы имеем дело с командами, где порядок имеет значение. Формула для перестановок с повторениями выглядит следующим образом:

$$P(n_1,n_2,...,n_k)=\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot ...\cdot n_k!}$$

Где n - общее количество элементов, а $n_1,n_2,...,n_k$ - количество элементов каждого типа. В данной задаче, у нас 25 спортсменов и 4 этапа. Таким образом, мы можем составить команды путем выбора по одному спортсмену на каждый этап.

$$n=25,n_1=n_2=n_3=n_4=1$$

Подставляя значения в формулу, получим:

$$P(25,1,1,1,1)=\frac{25!}{1!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!}=25!$$

Ответ: Существует $25!$ возможных команд из четырех спортсменов для участия в четырехэтапной эстафете с учетом порядка пробега этапов.

Задача 2:
Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для размещений без повторений, так как каждая цифра может встретиться в числе только один раз. Формула для размещений без повторений выглядит следующим образом:

$$A(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}$$

Где n - общее количество элементов, k - количество выбираемых элементов. В данной задаче, у нас есть цифры 1, 2, 3, 4, 0 и мы хотим составить трехзначные числа. Таким образом, мы должны выбрать 3 цифры из 5.

$$n=5,k=3$$

Подставляя значения в формулу, получим:

$$A(5,3)=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}=5\cdot 4\cdot 3=60$$

Ответ: Можно составить 60 трехзначных чисел из цифр 1, 2, 3, 4, 0 при условии, что каждая цифра может встретиться в записи числа только один раз.

Задача 3:
Для решения этой задачи нам необходимо знать формулы для размещений и сочетаний. Формула для размещений без повторений выглядит следующим образом:

$$A(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}$$

Формула для сочетаний без повторений выглядит следующим образом:

$$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Уравнение, которое дано в задаче, состоит из размещений и сочетаний. Чтобы решить его, мы можем записать его с использованием известных формул:

$$A(x-1,2)-C(x,1)$$

После подстановки соответствующих значений, получим:

$$\frac{(x-1)!}{(x-1-2)!}-\frac{x!}{1!(x-1)!}$$

Упрощая, получаем:

$$\frac{(x-1)!}{(x-3)!}-\frac{x!}{x(x-1)!}$$

При сокращении общих множителей, у нас остается:

$$\frac{(x-1)(x-2)}{1}-\frac{x}{x}=(x-1)(x-2)-1$$

Ответ: Уравнение $[A(x-1,2)-C(x,1)]$ можно решить, заменив его на $(x-1)(x-2)-1$.