1) Сколько оборотов и какая средняя угловая скорость были за все время вращения ротора диаметром 200 мм, который начал

Ярослава

36

Хорошо, давайте решим эти задачи по очереди.

1) Для начала, найдем время, за которое ротор достиг угловой скорости 40 рад/с. Мы можем использовать формулу углового ускорения, чтобы это сделать:
\[ \alpha = \frac{v - v_0}{t}, \]
где \(\alpha\) - угловое ускорение, \(v\) - угловая скорость, \(v_0\) - начальная угловая скорость и \(t\) - время, за которое совершается изменение скорости.

Известно, что \(v_0 = 0\) и \(\alpha = 4 \, \text{рад/с}^2\), поэтому формула примет вид:
\[ 4 \, \text{рад/с}^2 = \frac{40 \, \text{рад/с} - 0}{t}. \]

Решая уравнение относительно времени \(t\), получаем:
\[ t = \frac{40 \, \text{рад/с}}{4 \, \text{рад/с}^2} = 10 \, \text{с}. \]

Теперь, чтобы вычислить количество оборотов и среднюю угловую скорость за это время, мы можем использовать формулы для углового перемещения и средней угловой скорости:
\[ \theta = \frac{1}{2} \alpha t^2, \]
\[ \omega_{\text{ср}} = \frac{\theta}{t}, \]
где \(\theta\) - угловое перемещение, \(\omega_{\text{ср}}\) - средняя угловая скорость.

Подставим значения:
\[ \theta = \frac{1}{2} \cdot 4 \, \text{рад/с}^2 \cdot (10 \, \text{с})^2 = 200 \, \text{рад}, \]
\[ \omega_{\text{ср}} = \frac{200 \, \text{рад}}{10 \, \text{с}} = 20 \, \text{рад/с}. \]

Затем, рассмотрим движение ротора после достижения угловой скорости 40 рад/с. Мы знаем, что он совершил 510 оборотов. Общее угловое перемещение в радианах можно выразить как:
\[ \theta = 2 \pi n, \]
где \(n\) - количество оборотов, а \(\pi\) - число пи, примерно равное 3.14159.

Теперь можем выразить количество оборотов:
\[ n = \frac{\theta}{2 \pi} = \frac{510 \cdot 2 \pi}{2 \pi} = 510 \, \text{оборотов}. \]

Итак, ответ: ротор совершил 510 оборотов, а средняя угловая скорость составила 20 рад/с.

2) Теперь рассмотрим вторую задачу. Мы хотим найти окружную скорость точек на поверхности ротора через 8 секунд после начала вращения. Окружная скорость \(v\) связана с угловой скоростью \(\omega\) и радиусом \(r\) следующим образом:
\[ v = \omega \cdot r. \]

Мы знаем, что диаметр ротора равен 200 мм, что соответствует радиусу \(r = \frac{200}{2} = 100\) мм (\(0.1\) м).

Теперь, чтобы найти угловую скорость через формулу, описанную выше, нам нужно знать время, за которое произошло вращение. В нашем случае это 8 секунд.

Таким образом, окружная скорость точек на поверхности ротора будет равна:
\[ v = \omega \cdot r = \frac{40 \, \text{рад/с} \cdot 0.1 \, \text{м}}{8 \, \text{с}} = 0.5 \, \text{м/с}. \]

Ответ: окружная скорость точек на поверхности ротора диаметром 200 мм через 8 секунд после начала вращения составит 0.5 м/с.

Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь.