1. Сколько сантиметров составляют периметр и площадь треугольника, если в треугольнике KMN сторона MN равна

Скорпион

46

Задача 1. Для вычисления периметра и площади треугольника нам понадобится использовать формулы и геометрические свойства.

Первым делом, построим треугольник KMN с заданными сторонами и углом.

Согласно теореме косинусов, мы можем использовать стороны и углы треугольника, чтобы найти третью сторону. Используя формулу:

\(NM^2 = KN^2 + KM^2 - 2 \cdot KN \cdot KM \cdot \cos(N)\)

подставляем известные значения:

\(NM^2 = 15^2 + 8^2 - 2 \cdot 15 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)\)

\(NM^2 = 225 + 64 - 240 \cdot \frac{1}{2}\)

\(NM^2 = 225 + 64 - 120\)

\(NM^2 = 169\)

\(NM = \sqrt{169}\)

\(NM = 13\)

Теперь, когда мы знаем все три стороны треугольника, мы можем легко вычислить его периметр:

\(P = KN + KM + MN\)

\(P = 15 + 8 + 13\)

\(P = 36\)

Периметр треугольника KMN равен 36 сантиметров.

Чтобы найти площадь треугольника, воспользуемся формулой Герона:

\(S = \sqrt{p \cdot (p - KN) \cdot (p - KM) \cdot (p - MN)}\),

где \(p\) - полупериметр треугольника, равный \(\frac{P}{2}\).

\(p = \frac{36}{2}\)

\(p = 18\)

\(S = \sqrt{18 \cdot (18 - 15) \cdot (18 - 8) \cdot (18 - 13)}\)

\(S = \sqrt{18 \cdot 3 \cdot 10 \cdot 5}\)

\(S = \sqrt{2700}\)

\(S = 30\)

Таким образом, площадь треугольника KMN равна 30 квадратным сантиметрам.

Задача 2. Для того, чтобы найти длину стороны AC, нам также потребуются геометрические свойства и формулы.

Построим треугольник ABC с заданными углами и стороной BC.

Согласно условию, угол A равен 45 градусам, что на 60 градусов меньше, чем угол C. Значит, угол C равен 45 + 60 = 105 градусам.

Для нахождения стороны AC воспользуемся теоремой синусов:

\(\frac{AC}{\sin(A)} = \frac{BC}{\sin(C)}\)

Подставляем известные значения:

\(\frac{AC}{\sin(45^\circ)} = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sin(105^\circ)}\).

Так как \(\sin(105^\circ) = \sin(180^\circ - 105^\circ) = \sin(75^\circ)\), можем переписать:

\(\frac{AC}{\sin(45^\circ)} = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sin(75^\circ)}\).

Делим обе части уравнения на \(\sin(45^\circ)\):

\(AC = \frac{\sqrt{3} \cdot 2 \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(75^\circ)}\).

Используем свойства синуса угла суммы:

\(AC = \frac{\sqrt{3} \cdot 2 \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(45^\circ + 30^\circ)}\).

Так как \(\sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(75^\circ)\), получаем:

\(AC = \frac{\sqrt{3} \cdot 2 \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(75^\circ)} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sin(75^\circ)}\).

Для удобства, разложим синус 75 градусов:

\(\sin(75^\circ) = \sin(30^\circ + 45^\circ)\).

Так как \(\sin(30^\circ + 45^\circ) = \cos(45^\circ)\), можно записать:

\(AC = \frac{2 \sqrt{3}}{\cos(45^\circ)}\).

Теперь вспомним, что \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\):

\(AC = \frac{2 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\).

Для удобства, умножим и делим числитель на \(\sqrt{2}\):

\(AC = \frac{2 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{6}}{\sqrt{2}}\).

Рационализуем знаменатель:

\(AC = \frac{4 \sqrt{6}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{12} = 2 \sqrt{4 \cdot 3} = 2 \cdot 2 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}\).

Таким образом, длина стороны AC равна \(4 \sqrt{3}\) сантиметрам.

Задача 3. Для нахождения периметра параллелограмма, нам также потребуются формулы и геометрические свойства.

Построим параллелограмм ABCD с заданными диагоналями и соотношением сторон.

Согласно свойству параллелограмма, диагонали параллелограмма делят его на четыре равные треугольника.

Так как диагонали делятся в отношении 4:7, мы можем представить длины диагоналей как \(4x\) и \(7x\), где \(x\) - общий множитель.

Теперь построим два треугольника ABD и BCD, используя диагонали и известные соотношения сторон.

Для треугольника ABD мы можем использовать теорему Пифагора:

\((4x)^2 = AB^2 + BD^2\).

Для треугольника BCD мы также можем использовать теорему Пифагора:

\((7x)^2 = BC^2 + CD^2\).

Теперь объединим эти два уравнения:

\(16x^2 + 49x^2 = AB^2 + BD^2 + BC^2 + CD^2\).

Учитывая, что AB = CD и BD = BC (так как диагонали параллелограмма равны), и объединим правую часть уравнения:

\(65x^2 = 2AB^2 + 2BD^2\).

Теперь заметим, что \(2AB^2 = 2BD^2 = AD^2\) (так как AB = CD и BD = BC).

Подставим это обратно в уравнение:

\(65x^2 = 2AD^2\).

Теперь решим это уравнение и найдем длину стороны AD:

\(AD^2 = \frac{65x^2}{2}\).

\(AD = \sqrt{\frac{65x^2}{2}}\).

Таким образом, длина стороны AD параллелограмма равна \(\sqrt{\frac{65x^2}{2}}\) сантиметрам.

Найдем периметр параллелограмма. Периметр определяется суммой всех сторон параллелограмма:

\(P = 2(AD + AB)\).

Подставляем выражения для сторон:

\(P = 2 \left(\sqrt{\frac{65x^2}{2}} + \frac{4x}{2}\right)\).

\(P = 2 \left(\sqrt{\frac{65x^2}{2}} + 2x\right)\).

\(P = 2 \sqrt{\frac{65x^2}{2}} + 4x\).

\(P = 2 \sqrt{\frac{65}{2}}x + 4x\).

\(P = (2\sqrt{\frac{65}{2}} + 4)x\).

Таким образом, периметр параллелограмма равен \((2\sqrt{\frac{65}{2}} + 4)x\) сантиметрам.

Задача 4. Чтобы найти радиусы описанного и вписанного кругов треугольника, нам нужно использовать свойства треугольников и окружностей.

Обозначим стороны треугольника как \(a = 7\) см, \(b = 24\) см, \(c = 25\) см.

Теперь найдем полупериметр треугольника:

\(p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{7 + 24 + 25}{2} = \frac{56}{2} = 28\) см.

Воспользуемся формулой для радиуса описанного круга:

\(R = \frac{abc}{4S}\),

где \(S\) - площадь треугольника.

Площадь треугольника можно найти с помощью формулы Герона:

\(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{28 \cdot (28 - 7) \cdot (28 - 24) \cdot (28 - 25)} = \sqrt{28 \cdot 21 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{7056} = 84\) см².

Теперь найдем радиус описанного круга:

\(R = \frac{abc}{4S} = \frac{7 \cdot 24 \cdot 25}{4 \cdot 84} = \frac{4200}{336} = \frac{25}{2}\) см.

Теперь воспользуемся формулой для радиуса вписанного круга:

\(r = \frac{S}{p} = \frac{84}{28} = 3\) см.

Таким образом, радиус описанного круга треугольника равен \(\frac{25}{2}\) см, а радиус вписанного круга равен 3 см.