1. Сколько способов можно выделить двух мальчиков и трех девочек из класса, в котором находится 11 мальчиков

Kristina

33

Задача 1: Для решения данной задачи можно использовать комбинаторику. Нам нужно выбрать 2 мальчика из 11 и 3 девочки из 9. Для этого применим формулу сочетания:

\[ C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}} \]

где \( n \) - общее количество объектов, а \( k \) - количество объектов, которые нужно выбрать.

В нашем случае:
- Для выбора 2 мальчиков из 11 применим сочетание \( C(11, 2) \).
- Для выбора 3 девочек из 9 применим сочетание \( C(9, 3) \).

Таким образом, количество способов выделить двух мальчиков и трех девочек будет равно произведению этих двух сочетаний:

\[ C(11, 2) \cdot C(9, 3) = \frac{{11!}}{{2!(11-2)!}} \cdot \frac{{9!}}{{3!(9-3)!}} \]

Подсчитаем это значение:

\[ C(11, 2) \cdot C(9, 3) = \frac{{11! \cdot 9!}}{{2! \cdot 9! \cdot 3! \cdot 6!}} \]

Упростим:

\[ C(11, 2) \cdot C(9, 3) = \frac{{11 \cdot 10}}{{2}} \cdot \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} \]

\[ C(11, 2) \cdot C(9, 3) = 55 \cdot 84 \]

\[ C(11, 2) \cdot C(9, 3) = 4620 \]

Таким образом, количество способов выделить двух мальчиков и трех девочек для праздничного оформления актового зала равно 4620.

Задача 2: Для вычисления значения разности \( c^4_{11} - c^5_{11} \) нам нужно знать формулу для вычисления биномиальных коэффициентов:

\[ c^k_n = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}} \]

Подставим \( k = 4 \) и \( n = 11 \):

\[ c^4_{11} = \frac{{11!}}{{4!(11-4)!}} = \frac{{11!}}{{4! \cdot 7!}} \]

\[ c^4_{11} = \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 330 \]

Аналогично вычислим \( c^5_{11} \):

\[ c^5_{11} = \frac{{11!}}{{5!(11-5)!}} = \frac{{11!}}{{5! \cdot 6!}} \]

\[ c^5_{11} = \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 462 \]

Теперь можем вычислить разность:

\[ c^4_{11} - c^5_{11} = 330 - 462 = -132 \]

Таким образом, разность между \( c^4_{11} \) и \( c^5_{11} \) равна -132.

Задача 3: Пусть количество учеников в классе равно \( x \). Мы знаем, что количество способов выбрать трех дежурных учеников является девятью раз больше, чем количество способов выбрать двух дежурных учеников.

Используем формулу сочетания для подсчета количества способов выбора двух и трех учеников:

\[ C(x, 2) = \frac{{x!}}{{2!(x-2)!}} \]
\[ C(x, 3) = \frac{{x!}}{{3!(x-3)!}} \]

Условие гласит, что

\[ C(x, 3) = 9 \cdot C(x, 2) \]

Подставим значения:

\[ \frac{{x!}}{{3!(x-3)!}} = 9 \cdot \frac{{x!}}{{2!(x-2)!}} \]
\[ \frac{{x \cdot (x-1) \cdot (x-2)!}}{{3!}} = 9 \cdot \frac{{x \cdot (x-1)!}}{{2!}} \]

Упростим выражение:

\[ \frac{{x \cdot (x-1) \cdot (x-2)!}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 9 \cdot \frac{{x \cdot (x-1)!}}{{2 \cdot 1}} \]
\[ x \cdot (x-1) \cdot (x-2)! = 9 \cdot 3 \cdot x \cdot (x-1)! \]
\[ x \cdot (x-1) \cdot (x-2)! = 27 \cdot x \cdot (x-1)! \]

Сократим \( x \cdot (x-1)! \) с обеих сторон уравнения:

\[ (x-2)! = 27 \cdot (x-1)! \]

Сократим \( (x-1)! \) с обеих сторон уравнения:

\[ x-2 = 27 \]

Решим данное уравнение:

\[ x = 27 + 2 \]
\[ x = 29 \]

Таким образом, в классе находится 29 учеников.