Найдите длины катетов, площадь и радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника, если известны

Krasavchik

62

Для решения этой задачи нам понадобится использовать тригонометрические соотношения для прямоугольных треугольников.

Известно, что гипотенуза \( c = 12 \) и острый угол \( \alpha = 60^\circ \).

Для начала найдем катеты треугольника:

Катет \( a \) соответствует катету противолежащему острому углу \( \alpha \). Мы можем использовать тригонометрическую функцию синус, чтобы найти его длину:

\[ a = c \cdot \sin(\alpha) \]

Подставляя известные значения, получим:

\[ a = 12 \cdot \sin(60^\circ) \]

Вычисляя значение синуса \( 60^\circ \) (равное \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)), получим:

\[ a = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \]

Таким образом, длина катета \( a \) равна \( 6 \sqrt{3} \).

Катет \( b \) соответствует катету прилежащему острому углу \( \alpha \). Мы можем использовать тригонометрическую функцию косинус, чтобы найти его длину:

\[ b = c \cdot \cos(\alpha) \]

Подставляя известные значения, получим:

\[ b = 12 \cdot \cos(60^\circ) \]

Вычисляя значение косинуса \( 60^\circ \) (равное \( \frac{1}{2} \)), получим:

\[ b = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \]

Таким образом, длина катета \( b \) равна 6.

Теперь найдем площадь прямоугольного треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти, используя формулу:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

Подставляя известные значения, получим:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot (6 \sqrt{3}) \cdot 6 = 18 \sqrt{3} \]

Таким образом, площадь \( S \) равна \( 18 \sqrt{3} \).

Наконец, найдем радиус описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника.

Радиус описанной окружности можно найти, используя формулу:

\[ R = \frac{c}{2} \]

Подставляя известное значение гипотенузы \( c = 12 \), получим:

\[ R = \frac{12}{2} = 6 \]

Таким образом, радиус описанной окружности \( R \) равен 6.

Итак, решив данную задачу, мы получили:

Катет \( a = 6 \sqrt{3} \)

Катет \( b = 6 \)

Площадь \( S = 18 \sqrt{3} \)

Радиус описанной окружности \( R = 6 \)