Какой радиус основания конуса соответствует его объему 1, если синус угла между образующей и плоскостью основания равен

Таисия

70

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулу объема конуса и условие о синусе угла между образующей и плоскостью основания.

Объем конуса выражается следующей формулой:
\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]
где \(V\) - объем конуса, \(\pi\) - математическая постоянная, \(r\) - радиус основания конуса, \(h\) - высота конуса.

В данной задаче объем конуса равен 1, то есть \(V = 1\). В условии также указано, что синус угла между образующей и плоскостью основания равен 0,6. Обозначим этот угол как \(\theta\).

Зная, что образующая \(l\) связана с радиусом основания \(r\) и углом \(\theta\) следующим образом:
\[l = \sqrt{r^2 + h^2}\]
или, в нашем случае, так как \(h\) равно радиусу основания:
\[l = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = \sqrt{2}r\]

Тогда согласно условию задачи, мы имеем:
\(\sin(\theta) = 0,6\)

Теперь мы можем выразить высоту конуса через радиус основания и угол \(\theta\):
\[h = r\sin(\theta)\]

Также у нас есть формула для объема конуса, которую мы можем переписать с учетом данных задачи:
\[1 = \frac{1}{3}\pi r^2 r\sin(\theta)\]
\[1 = \frac{1}{3}\pi r^3 \sin(\theta)\]

Теперь мы можем выразить радиус основания \(\displaystyle r\) через угол \(\displaystyle \theta\):
\[\displaystyle r= \sqrt[3]{\displaystyle \frac{3}{\displaystyle \pi \sin(\theta)}}\]
\[\displaystyle r= \sqrt[3]{\displaystyle \frac{3}{\displaystyle \pi \cdot 0,6}}\]
\[\displaystyle r\approx \sqrt[3]{2,5}\]

Таким образом, получаем, что радиус основания конуса примерно равен \(\displaystyle \sqrt[3]{2,5}\).

Перейдем теперь к вариантам ответа:

а) 16π;
б) 2π;
в) 1/4π;
г) π.

Когда мы подставляем значение \(\displaystyle \sqrt[3]{2,5}\) в формулу радиуса, то видим, что это значение больше или меньше данных вариантов ответа. Таким образом, ни один из предложенных вариантов не соответствует радиусу основания конуса. Возможно, в данном случае вариант ответа не был предложен правильно или отсутствует.