1) Transform into a polynomial: a) (a - 3)^2; b) (2x + y)^2; c) (5v - 4x)(5v + 4x). 2) Expression: a) 4a(a - 2)

Sergeevich

50

Хорошо, давайте начнем с решения задачи:

1) Преобразовать в полином:
a) \((a - 3)^2\)

Для этого нам нужно выполнить операцию возведения в квадрат по формуле \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Применяя эту формулу, получим:

\((a - 3)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9\)

Таким образом, полиномом, эквивалентным выражению \((a - 3)^2\), является \(a^2 - 6a + 9\).

b) \((2x + y)^2\)

Воспользуемся той же формулой:

\((2x + y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot y + y^2 = 4x^2 + 4xy + y^2\)

Таким образом, полиномом, эквивалентным выражению \((2x + y)^2\), является \(4x^2 + 4xy + y^2\).

c) \((5v - 4x)(5v + 4x)\)

В этой задаче нам нужно применить формулу для разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\).

Применим эту формулу:

\((5v - 4x)(5v + 4x) = (5v)^2 - (4x)^2 = 25v^2 - 16x^2\)

Таким образом, полиномом, эквивалентным выражению \((5v - 4x)(5v + 4x)\), является \(25v^2 - 16x^2\).

2) Выражение:
a) \(4a(a - 2) - (a - 4)^2\)

Для раскрытия скобок воспользуемся свойством распределения:

\(4a(a - 2) - (a - 4)^2 = 4a^2 - 8a - (a^2 - 8a + 16)\)

Произведем раскрытие скобок и сократим подобные слагаемые:

\(4a^2 - 8a - (a^2 - 8a + 16) = 4a^2 - 8a - a^2 + 8a - 16 = 3a^2 - 16\)

Таким образом, полученное выражение равно \(3a^2 - 16\).

b) \(2(v + 1)^2 - 4v\)

Для раскрытия скобок мы используем формулу квадрата суммы:

\(2(v + 1)^2 - 4v = 2(v^2 + 2v + 1) - 4v\)

Раскроем скобки и сократим подобные слагаемые:

\(2(v^2 + 2v + 1) - 4v = 2v^2 + 4v + 2 - 4v = 2v^2 + 2\)

Таким образом, полученное выражение равно \(2v^2 + 2\).

3) Факторизовать:
a) \(x^2 - 25\)

Данное выражение является разностью двух квадратов. Мы можем использовать формулу разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\).

Применим эту формулу:

\(x^2 - 25 = (x + 5)(x - 5)\)

Таким образом, исходное выражение факторизуется в виде \((x + 5)(x - 5)\).

b) \(av^2 - ac^2\)

В этом выражении можно вынести общий множитель \(a\):

\(av^2 - ac^2 = a(v^2 - c^2)\)

Здесь мы видим разность двух квадратов \(v^2 - c^2\). Применим формулу разности квадратов:

\(v^2 - c^2 = (v + c)(v - c)\)

Получаем:

\(av^2 - ac^2 = a(v^2 - c^2) = a(v + c)(v - c)\)

Таким образом, факторизованное выражение будет равно \(a(v + c)(v - c)\).

c) \(-3a^2 - 6av - 3av^2\)

Создадим группы со слагаемыми и вынесем общий множитель из каждой группы:

\(-3a^2 - 6av - 3av^2 = -3a^2 - 3av^2 - 6av\)

Каждой группе вынесем общий множитель:

\(-3a^2 - 3av^2 - 6av = -3a(a + v^2 + 2v)\)

4) Выражение: \((u^2 - 2u)^2 - u^2(u + 3)(u - 3) + 2u(2u^2 + 5)\)

Вначале раскроем квадрат \((u^2 - 2u)^2\):

\((u^2 - 2u)^2 = u^2 - 4u^2 + 4u^2 = u^4 - 4u^3 + 4u^2\)

Затем раскроем скобки \(u^2(u + 3)(u - 3)\):

\(u^2(u + 3)(u - 3) = u^2(u^2 - 9) = u^4 - 9u^2\)

Далее, раскроем скобки \(2u(2u^2 + 5)\):

\(2u(2u^2 + 5) = 4u^3 + 10u\)

Теперь соберем все слагаемые в одно выражение:

\((u^2 - 2u)^2 - u^2(u + 3)(u - 3) + 2u(2u^2 + 5) = u^4 - 4u^3 + 4u^2 - (u^4 - 9u^2) + (4u^3 + 10u)\)

Упростим эту сумму и разности:

\(u^4 - 4u^3 + 4u^2 - (u^4 - 9u^2) + (4u^3 + 10u) = u^4 - 4u^3 + 4u^2 - u^4 + 9u^2 + 4u^3 + 10u\)

Сократим подобные слагаемые:

\(u^4 - 4u^3 + 4u^2 - u^4 + 9u^2 + 4u^3 + 10u = 9u^2 + 10u\)

Таким образом, выражение \((u^2 - 2u)^2 - u^2(u + 3)(u - 3) + 2u(2u^2 + 5)\) упрощается до \(9u^2 + 10u\).

5) Факторизовать:
a) \(25a^2 - (a + 3)^2\)

В этом выражении снова встречается разность квадратов. Применим формулу разности квадратов:

\(25a^2 - (a + 3)^2 = 25a^2 - (a^2 + 6a + 9)\)

Раскроем скобки и сократим подобные слагаемые:

\(25a^2 - (a^2 + 6a + 9) = 25a^2 - a^2 - 6a - 9\)

Упростим выражение:

\(25a^2 - a^2 - 6a - 9 = 24a^2 - 6a - 9\)

Таким образом, факторизованное выражение будет равно \(24a^2 - 6a - 9\).

b) \(27a^3 + b^3\)

В этом выражении мы видим сумму кубов:

\(27a^3 + b^3 = (3a)^3 + b^3\)

Формула суммы кубов гласит, что \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\).

Применим ее к нашему выражению:

\((3a)^3 + b^3 = (3a + b)((3a)^2 - (3a)b + b^2)\)

Раскроем скобки:

\((3a + b)((3a)^2 - (3a)b + b^2) = (3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2)\)

Таким образом, факторизованное выражение будет равно \((3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2)\).

c) \(16x^4 - 81\)

В этой задаче мы видим разность квадратов. Раскроем скобки:

\(16x^4 - 81 = (4x^2)^2 - 9^2 = (4x^2 - 9)(4x^2 + 9)\)

Получаем:

\(16x^4 - 81 = (4x^2 - 9)(4x^2 + 9)\)

Таким образом, факторизованное выражение будет равно \((4x^2 - 9)(4x^2 + 9)\).

d) \(x^2 - x\)

В этом выражении мы можем вынести общий множитель \(x\):

\(x^2 - x = x(x - 1)\)

Факторизованное выражение будет равно \(x(x - 1)\).

Надеюсь, данное пошаговое решение и объяснение помогли вам понять, как выполнить каждое задание.