1. У параллелограмма все стороны равны, все углы равны. 2. Если сторона и диагональ четырехугольника пересекаются

Solnechnyy_Pirog

2

Задача 1: У параллелограмма все стороны равны, все углы равны.

Доказательство:
1) Для начала, рассмотрим две противоположные стороны параллелограмма. По свойствам параллелограмма, они параллельны и равны по длине. Обозначим эти стороны как AB и CD.
2) Теперь рассмотрим две другие противоположные стороны. Они также являются параллельными и равными по длине. Обозначим их как BC и AD.
3) Таким образом, мы получили, что все стороны параллелограмма равны по длине.
4) Теперь рассмотрим углы параллелограмма. По свойствам параллелограмма, противолежащие углы равны. Обозначим эти углы как ∠A и ∠C, а также ∠B и ∠D.
5) Следовательно, все углы параллелограмма равны.

Ответ: Все стороны параллелограмма равны, все углы параллелограмма равны.

Задача 2: Если сторона и диагональ четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство:
1) Пусть у нас есть четырехугольник ABCD, в котором сторона AB и диагональ BD пересекаются в точке E, и при этом E делит BD пополам.
2) Обозначим ∠BAC и ∠CDA как α и β соответственно.
3) Так как E делит BD пополам, то BE = ED.
4) Рассмотрим треугольник ABE. В нем угол ∠BAE равен α (по соответствующим углам), угол ∠BEA равен β (по свойству противолежащих углов), а сторона BE равна DE, так как точка E делит BD пополам.
5) Исходя из равенства сторон и равенства углов треугольника ABE, получаем, что треугольник ABE равнобедренный: AB = AE.
6) Раз у нас равнобедренный треугольник ABE, то углы ∠ABE и ∠AEB равны между собой.
7) Также, из параллельности сторон AB и CD, получаем, что ∠ABE и ∠CDA равны между собой, так как являются соответственными углами.
8) Следовательно, углы ∠ABE и ∠CDA равны, а значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Ответ: Если сторона и диагональ четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Задача 3: Найдите углы параллелограмма АВСD, если один из углов равен 420°.

Решение:
1) Из свойств параллелограмма мы знаем, что противолежащие углы равны. Пусть один из углов параллелограмма равен 420°.
2) Значит, противолежащий ему угол тоже будет равен 420°.
3) Таким образом, все углы параллелограмма равны 420°.
4) Важно учесть, что сумма углов параллелограмма равна 360°.
5) В данном случае, все углы равны 420°, и их сумма будет равна 4 * 420° = 1680°.
6) Однако, поскольку сумма углов параллелограмма должна быть 360°, данное предположение о значениях углов противоречит этому условию.
7) Значит, углы параллелограмма не могут быть равны 420°.

Ответ: Невозможно найти углы параллелограмма АВСD, если один из углов равен 420°.

Задача 4: Разность двух углов параллелограмма равна 300°. Найдите его углы.

Решение:
1) Пусть ∠A и ∠B - углы параллелограмма.
2) По условию, разность двух углов равна 300°: ∠A - ∠B = 300°.
3) Из свойств параллелограмма мы знаем, что противолежащие углы равны: ∠A = ∠C и ∠B = ∠D.
4) Заменим ∠C и ∠D в уравнении: ∠A - ∠D = 300°.
5) Теперь мы имеем уравнение с двумя углами параллелограмма: ∠A - ∠D = 300°.
6) Зная, что сумма углов параллелограмма равна 360°, получим второе уравнение: ∠A + ∠D = 360°.
7) Решив систему уравнений, мы найдем значения углов параллелограмма.
8) Сложим два уравнения: (∠A + ∠D) + (∠A - ∠D) = 360° + 300°.
9) Упростим уравнение: 2∠A = 660°.
10) Разделим обе части уравнения на 2: ∠A = 330°.
11) Подставим найденное значение ∠A в одно из исходных уравнений: ∠A - ∠D = 300°.
12) Заменяя ∠A на 330°, получим: 330° - ∠D = 300°.
13) Решив уравнение, найдем значение ∠D: ∠D = 30°.
14) Используя свойства параллелограмма, найдем значения остальных углов: ∠B = ∠D = 30° и ∠C = ∠A = 330°.

Ответ: Углы параллелограмма равны ∠A = 330°, ∠B = 30°, ∠C = 330° и ∠D = 30°.