1. В остроугольном треугольнике ABC пересечение высот образует угол ВРС, равный 120°. Докажите, что угол ВАС равен
1. В остроугольном треугольнике ABC пересечение высот образует угол ВРС, равный 120°. Докажите, что угол ВАС равен 60°.
2. В остроугольном треугольнике ABC пересечение высот образует угол ВРС, равный 120°. Какова мера угла ВАС?
3. Доказать, что угол ВАС в остроугольном треугольнике ABC, где высоты пересекаются в точке Р, равен 60°.
4. Если угол ВРС в остроугольном треугольнике ABC равен 120°, то какой угол ВАС?
5. Остроугольный треугольник ABC имеет пересекающиеся высоты, образующие угол ВРС, равный 120°. Какова мера угла ВАС?
а) 1. В доказательстве установить равенство угла ВАС 60°.
2. Выяснить, что мера угла ВАС составляет 60°.
б) 1. Найти значение ВР, если значение AP равно 13 и значение PC равно 10.
2. Определить, какое значение имеет ВР при условии, что AP = 13 и PC = 10.
3. Найти длину ВР, при которой значения AP и PC равны 13 и 10, соответственно.
2. В остроугольном треугольнике ABC пересечение высот образует угол ВРС, равный 120°. Какова мера угла ВАС?
3. Доказать, что угол ВАС в остроугольном треугольнике ABC, где высоты пересекаются в точке Р, равен 60°.
4. Если угол ВРС в остроугольном треугольнике ABC равен 120°, то какой угол ВАС?
5. Остроугольный треугольник ABC имеет пересекающиеся высоты, образующие угол ВРС, равный 120°. Какова мера угла ВАС?
а) 1. В доказательстве установить равенство угла ВАС 60°.
2. Выяснить, что мера угла ВАС составляет 60°.
б) 1. Найти значение ВР, если значение AP равно 13 и значение PC равно 10.
2. Определить, какое значение имеет ВР при условии, что AP = 13 и PC = 10.
3. Найти длину ВР, при которой значения AP и PC равны 13 и 10, соответственно.
Zvezda 54
Для решения данной задачи вам потребуется знание свойств остроугольных треугольников и высот.1. Докажем, что угол ВАС равен 60°.
- Пусть АБ, ВС и АС - высоты треугольника ABC, пересекающиеся в точке Р.
- Угол ВРС равен 120° (дано).
- Опустим высоты АД и ВЕ из вершин А и В на стороны ВС и АС соответственно.
- Так как ВА и ВС - две из трех высот треугольника ABC, то их пересечение Р является ортоцентром треугольника.
- Из свойств остроугольных треугольников следует, что ортоцентр треугольника является центром описанной окружности.
Теперь к доказательству:
1) Докажем, что ортоцентр треугольника лежит на окружности, описанной около него.
- Вспомним теорему: Если точка лежит на перпендикуляре к отрезку, проходящем через его середину, то она лежит на окружности с этим отрезком как диаметром.
- Найдем середины отрезков VA и VC и обозначим их как М и N соответственно.
- Поскольку точка АМ - середина отрезка VA, а точка Р лежит на перпендикуляре к отрезку VA (поскольку она лежит на высоте), то Р должна лежать на окружности с диаметром АМ.
- Аналогично, Р лежит на окружности с диаметром CN.
- Поскольку Р лежит на обеих окружностях, она должна быть их пересечением - ортоцентром треугольника.
- Таким образом, ортоцентр треугольника лежит на окружности, описанной около него.
2) Докажем, что переданный угол равен 60°.
- Рассмотрим треугольник РВА.
- Угол РВС равен 120° (дано).
- Угол АВС равен 90° (поскольку ВС - высота).
- Из свойств остроугольных треугольников следует, что сумма углов РВС и АВС равна 180°.
- Таким образом, угол ВРА равен 180° - 120° - 90° = 30°.
- Поскольку угол ВРА и угол ВАС являются смежными, угол ВАС равен 30° + 30° = 60°.
Таким образом, доказано, что угол ВАС в остроугольном треугольнике ABC равен 60°.