Яким відношенням ділиться бічна сторона трикутника серединним перпендикуляром до основи, якщо висота цього трикутника

Artemovich

65

Дано: висота трикутника ділить його основу у співвідношенні 5:9.

Позначимо бічну сторону трикутника як \(a\), основу як \(b\), висоту як \(h\). Також позначимо точку дотику серединного перпендикуляра до основи як точку \(M\), і розглянемо прямокутний трикутник \(MCH\), де \(HC = \frac{b}{2}\) та \(MH = \frac{5b}{14}\).

Оскільки серединний перпендикуляр поділяє сторону на дві рівні частини, то \(CM = MH = \frac{5b}{14}\). Обернений теоремі Піфагора для трикутника \(CMH\) буде: \[a^2 = CM^2 + CH^2\]

Підставимо відомі значення: \[a^2 = \left(\frac{5b}{14}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2\]

Спростимо вираз: \[a^2 = \frac{25b^2}{196} + \frac{49b^2}{196} = \frac{74b^2}{196} = \frac{37b^2}{98}\]

Отже, відношенням, яким бічна сторона трикутника ділиться серединним перпендикуляром до основи є \(\frac{\sqrt{37}b}{14}\) : \(\frac{\sqrt{37}b}{14}\).