1) В треугольнике ABC с равными сторонами AB=BC=4 и стороной AC=2, высота обозначена как BH. Второй пересечение

Александрович_3602

55

Задача 1: В треугольнике \(ABC\) с равными сторонами \(AB=BC=4\) и стороной \(AC=2\), высота обозначена как \(BH\). Второе пересечение окружности, вписанной в треугольник \(ABC\), с высотой \(BH\) обозначено как точка \(K\). Найдите отношение \(BK:KH\).

Решение:
Для начала будем искать высоту треугольника \(ABC\) по формуле \(H = \frac{{a\sqrt{3}}}{2}\), где \(a\) - сторона треугольника.
Подставляя известное значение, получаем \(H = \frac{{4 \cdot \sqrt{3}}}{2} = 2\sqrt{3}\).

Затем найдем радиус окружности, вписанной в треугольник \(ABC\), по формуле \(r = \frac{{a \cdot \sqrt{3}}}{6}\), где \(a\) - сторона треугольника.
Подставляя известное значение, получаем \(r = \frac{{4 \cdot \sqrt{3}}}{6} = \frac{{2\sqrt{3}}}{3}\).

Теперь найдем длину отрезка \(BH\), который является высотой треугольника \(ABC\). Этот отрезок является радиусом окружности, вписанной в треугольник, и проходит через точку \(K\).
Следовательно, длина отрезка \(BH\) равна \(r\), то есть \(BH = \frac{{2\sqrt{3}}}{3}\).

Далее, чтобы найти отношение \(BK:KH\), найдем длину отрезка \(BK\).
Можно заметить, что треугольник \(KBH\) является прямоугольным треугольником, так как \(BH\) является высотой. Также, треугольник \(KBH\) подобен треугольнику \(ABC\) по стороне \(BH\) и гипотенузе \(BK\).
Используя соотношение сторон прямоугольных треугольников, получаем \(\frac{{BK}}{{BH}} = \frac{{AB}}{{AC}}\), откуда \(\frac{{BK}}{{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}} = \frac{4}{2}\).
Решая это уравнение, найдем длину отрезка \(BK\): \(BK = \frac{8\sqrt{3}}{3}\).

Теперь мы можем найти отношение \(BK:KH\):
\[\frac{{BK}}{{KH}} = \frac{{\frac{{8\sqrt{3}}}{3}}}{{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}} = \frac{8}{2} = 4.\]

Ответ: \(\frac{{BK}}{{KH}} = 4\).

Задача 2: В параллелограмме \(TRES\), на отрезке \(TS\) отмечена точка \(K\) такая, что отношение \(\frac{{TK}}{{KS}} = \frac{3}{2}\).
На отрезке \(RE\) отмечена точка \(O\) такая, что отношение \(\frac{{RO}}{{OE}} = \frac{2}{3}\).
На отрезке \(TR\) отмечена точка \(A\) такая, что отношение \(\frac{{TA}}{{AR}} = \frac{4}{1}\).
Найдите площадь треугольника \(RAK\), если площадь треугольника \(ROK\) равна \(100\).

Решение:
Из отношений длин отрезков \(TK:KS = 3:2\) и \(RO:OE = 2:3\) можно сделать вывод, что отрезки \(TK\) и \(RO\) делят их общую площадь пополам.
Следовательно, площадь треугольника \(ROK\) равна половине площади параллелограмма \(TRES\), то есть \(100\).

Так как параллелограмм \(TRES\) и треугольник \(RAK\) имеют общую высоту, то отношение их площадей равно отношению длин соответствующих оснований.
Отношение длин отрезков \(TA:AR = 4:1\). Поэтому площадь треугольника \(RAK\) равна \(\frac{1}{4}\) площади параллелограмма \(TRES\).

Имея площадь параллелограмма \(TRES\) равной \(200\) (удвоенная площадь треугольника \(ROK\)), можем вычислить площадь треугольника \(RAK\):
\[S_{RAK} = \frac{1}{4} (S_{TRES}) = \frac{1}{4} \cdot 200 = 50.\]

Ответ: Площадь треугольника \(RAK\) равна \(50\).