1) В треугольнике ABC с равными сторонами AB=BC=4 и стороной AC=2, высота обозначена как BH. Второй пересечение

  • 10
1) В треугольнике ABC с равными сторонами AB=BC=4 и стороной AC=2, высота обозначена как BH. Второй пересечение окружности, вписанной в треугольник ABC, с высотой BH обозначено как точка К. Найдите отношение BK:KH.

2) T, R, E и S являются последовательными вершинами параллелограмма. На отрезке TS отмечена точка K такая, что отношение TK:KS=3:2. На отрезке RE отмечена точка O такая, что отношение RO:OE=2:3. На отрезке TR отмечена точка A такая, что отношение TA:AR=4:1. Найдите площадь треугольника RAK, если площадь треугольника ROK равняется 100. Поменяйте формулировку в максимально возможной степени.
Александрович_3602
55
Задача 1: В треугольнике ABC с равными сторонами AB=BC=4 и стороной AC=2, высота обозначена как BH. Второе пересечение окружности, вписанной в треугольник ABC, с высотой BH обозначено как точка K. Найдите отношение BK:KH.

Решение:
Для начала будем искать высоту треугольника ABC по формуле H=a32, где a - сторона треугольника.
Подставляя известное значение, получаем H=432=23.

Затем найдем радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, по формуле r=a36, где a - сторона треугольника.
Подставляя известное значение, получаем r=436=233.

Теперь найдем длину отрезка BH, который является высотой треугольника ABC. Этот отрезок является радиусом окружности, вписанной в треугольник, и проходит через точку K.
Следовательно, длина отрезка BH равна r, то есть BH=233.

Далее, чтобы найти отношение BK:KH, найдем длину отрезка BK.
Можно заметить, что треугольник KBH является прямоугольным треугольником, так как BH является высотой. Также, треугольник KBH подобен треугольнику ABC по стороне BH и гипотенузе BK.
Используя соотношение сторон прямоугольных треугольников, получаем BKBH=ABAC, откуда BK233=42.
Решая это уравнение, найдем длину отрезка BK: BK=833.

Теперь мы можем найти отношение BK:KH:
BKKH=833233=82=4.

Ответ: BKKH=4.

Задача 2: В параллелограмме TRES, на отрезке TS отмечена точка K такая, что отношение TKKS=32.
На отрезке RE отмечена точка O такая, что отношение ROOE=23.
На отрезке TR отмечена точка A такая, что отношение TAAR=41.
Найдите площадь треугольника RAK, если площадь треугольника ROK равна 100.

Решение:
Из отношений длин отрезков TK:KS=3:2 и RO:OE=2:3 можно сделать вывод, что отрезки TK и RO делят их общую площадь пополам.
Следовательно, площадь треугольника ROK равна половине площади параллелограмма TRES, то есть 100.

Так как параллелограмм TRES и треугольник RAK имеют общую высоту, то отношение их площадей равно отношению длин соответствующих оснований.
Отношение длин отрезков TA:AR=4:1. Поэтому площадь треугольника RAK равна 14 площади параллелограмма TRES.

Имея площадь параллелограмма TRES равной 200 (удвоенная площадь треугольника ROK), можем вычислить площадь треугольника RAK:
SRAK=14(STRES)=14200=50.

Ответ: Площадь треугольника RAK равна 50.