1) В треугольнике ABC с равными сторонами AB=BC=4 и стороной AC=2, высота обозначена как BH. Второй пересечение

Александрович_3602

55

Задача 1: В треугольнике $ABC$ с равными сторонами $AB=BC=4$ и стороной $AC=2$, высота обозначена как $BH$. Второе пересечение окружности, вписанной в треугольник $ABC$, с высотой $BH$ обозначено как точка $K$. Найдите отношение $BK:KH$.

Решение:
Для начала будем искать высоту треугольника $ABC$ по формуле $H=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, где $a$ - сторона треугольника.
Подставляя известное значение, получаем $H=\frac{4\cdot \sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$.

Затем найдем радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, по формуле $r=\frac{a\cdot \sqrt{3}}{6}$, где $a$ - сторона треугольника.
Подставляя известное значение, получаем $r=\frac{4\cdot \sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Теперь найдем длину отрезка $BH$, который является высотой треугольника $ABC$. Этот отрезок является радиусом окружности, вписанной в треугольник, и проходит через точку $K$.
Следовательно, длина отрезка $BH$ равна $r$, то есть $BH=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Далее, чтобы найти отношение $BK:KH$, найдем длину отрезка $BK$.
Можно заметить, что треугольник $KBH$ является прямоугольным треугольником, так как $BH$ является высотой. Также, треугольник $KBH$ подобен треугольнику $ABC$ по стороне $BH$ и гипотенузе $BK$.
Используя соотношение сторон прямоугольных треугольников, получаем $\frac{BK}{BH}=\frac{AB}{AC}$, откуда $\frac{BK}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}=\frac{4}{2}$.
Решая это уравнение, найдем длину отрезка $BK$: $BK=\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

Теперь мы можем найти отношение $BK:KH$:
$$\frac{BK}{KH}=\frac{\frac{8\sqrt{3}}{3}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}=\frac{8}{2}=4.$$

Ответ: $\frac{BK}{KH}=4$.

Задача 2: В параллелограмме $TRES$, на отрезке $TS$ отмечена точка $K$ такая, что отношение $\frac{TK}{KS}=\frac{3}{2}$.
На отрезке $RE$ отмечена точка $O$ такая, что отношение $\frac{RO}{OE}=\frac{2}{3}$.
На отрезке $TR$ отмечена точка $A$ такая, что отношение $\frac{TA}{AR}=\frac{4}{1}$.
Найдите площадь треугольника $RAK$, если площадь треугольника $ROK$ равна $100$.

Решение:
Из отношений длин отрезков $TK:KS=3:2$ и $RO:OE=2:3$ можно сделать вывод, что отрезки $TK$ и $RO$ делят их общую площадь пополам.
Следовательно, площадь треугольника $ROK$ равна половине площади параллелограмма $TRES$, то есть $100$.

Так как параллелограмм $TRES$ и треугольник $RAK$ имеют общую высоту, то отношение их площадей равно отношению длин соответствующих оснований.
Отношение длин отрезков $TA:AR=4:1$. Поэтому площадь треугольника $RAK$ равна $\frac{1}{4}$ площади параллелограмма $TRES$.

Имея площадь параллелограмма $TRES$ равной $200$ (удвоенная площадь треугольника $ROK$), можем вычислить площадь треугольника $RAK$:
$$S_{RAK}=\frac{1}{4}(S_{TRES})=\frac{1}{4}\cdot 200=50.$$

Ответ: Площадь треугольника $RAK$ равна $50$.