1) Верно ли утверждение, что треугольник АВС прямоугольный, если скалярное произведение векторов СВ и СА равно нулю?

Vesenniy_Les

46

1) Чтобы ответить на первый вопрос, воспользуемся свойством скалярного произведения векторов. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы ортогональны, то есть образуют прямой угол между собой. В данном случае, если скалярное произведение векторов СВ и СА равно нулю, то это означает, что векторы СВ и СА являются перпендикулярными друг другу. Однако, это не даёт нам информации о третьем векторе СА. Таким образом, верное утверждение будет звучать так: "Если скалярное произведение векторов СВ и СА равно нулю, то это означает, что векторы СВ и СА являются перпендикулярными друг другу, но нельзя однозначно сказать, что треугольник АВС является прямоугольным".

2) Для равностороннего треугольника все стороны равны, а углы равны 60 градусов. Проверим утверждение, рассматривая скалярное произведение пар векторов.

- Скалярное произведение пары векторов АВ и АС:
$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \cos (\mathrm{\angle }BAC)$$
Так как векторы АВ и АС имеют одинаковые направления, то $\cos (\mathrm{\angle }BAC)=1$. Также, поскольку треугольник равносторонний, $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|$. Подставляя значения, получаем:
$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot 1=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|$$

- Скалярное произведение пары векторов ВА и ВС:
$$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot \cos (\mathrm{\angle }ABC)$$
Так как векторы ВА и ВС имеют противоположные направления, то $\cos (\mathrm{\angle }ABC)=-1$. Подставляя значения, получаем:
$$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot -1=-|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|$$

- Скалярное произведение пары векторов СА и СВ:
$$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=|\overrightarrow{CA}|\cdot |\overrightarrow{CB}|\cdot \cos (\mathrm{\angle }BCA)$$
Так как векторы СА и СВ имеют противоположные направления, то $\cos (\mathrm{\angle }BCA)=-1$. Подставляя значения, получаем:
$$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=|\overrightarrow{CA}|\cdot |\overrightarrow{CB}|\cdot -1=-|\overrightarrow{CA}|\cdot |\overrightarrow{CB}|$$

Таким образом, скалярные произведения пар векторов АВ и АС, ВА и ВС, СА и СВ равны, но имеют противоположные знаки. Следовательно, верное утверждение будет звучать так: "В равностороннем треугольнике скалярное произведение пар векторов АВ и АС, ВА и ВС, СА и СВ равны, но имеют противоположные знаки".

3) Рассмотрим скалярное произведение векторов АС и АВ, равное -11.

a) Для угла А прямого у скалярного произведения векторов сумма произведений модулей координат равна нулю, то есть:
$$AC\cdot AB=|AC|\cdot |AB|\cdot \cos (\mathrm{\angle }CAB)=0$$
Однако, в данной задаче мы получили, что скалярное произведение равно -11. Таким образом, нельзя утверждать, что угол А прямой.

b) Для острого угла А угол между векторами АС и АВ удовлетворяет неравенству:
$$AC\cdot AB=|AC|\cdot |AB|\cdot \cos (\mathrm{\angle }CAB)>0$$
Однако, в данной задаче мы получили, что скалярное произведение равно -11. Таким образом, нельзя утверждать, что угол А острый.

c) Для тупого угла А угол между векторами АС и АВ удовлетворяет неравенству:
$$AC\cdot AB=|AC|\cdot |AB|\cdot \cos (\mathrm{\angle }CAB)<0$$
В данной задаче скалярное произведение равно -11, что отрицательное число. Таким образом, можно утверждать, что угол А тупой.

Итак, ответы на вопросы:

a) Нельзя утверждать, что угол А прямой.
b) Нельзя утверждать, что угол А острый.
c) Можно утверждать, что угол А тупой.