1) Верно ли утверждение, что треугольник АВС прямоугольный, если скалярное произведение векторов СВ и СА равно нулю?

  • 43
1) Верно ли утверждение, что треугольник АВС прямоугольный, если скалярное произведение векторов СВ и СА равно нулю?
2) Верно ли утверждение, что в равностороннем треугольнике скалярное произведение пар векторов АВ и АС, ВА и ВС, СА и СВ совпадают?
3) Если скалярное произведение векторов АС и АВ равно -11, то возможно ли утверждать, что...
a) Угол А прямой?
b) Угол А острый?
c) Угол А тупой?
Vesenniy_Les
46
1) Чтобы ответить на первый вопрос, воспользуемся свойством скалярного произведения векторов. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы ортогональны, то есть образуют прямой угол между собой. В данном случае, если скалярное произведение векторов СВ и СА равно нулю, то это означает, что векторы СВ и СА являются перпендикулярными друг другу. Однако, это не даёт нам информации о третьем векторе СА. Таким образом, верное утверждение будет звучать так: "Если скалярное произведение векторов СВ и СА равно нулю, то это означает, что векторы СВ и СА являются перпендикулярными друг другу, но нельзя однозначно сказать, что треугольник АВС является прямоугольным".

2) Для равностороннего треугольника все стороны равны, а углы равны 60 градусов. Проверим утверждение, рассматривая скалярное произведение пар векторов.

- Скалярное произведение пары векторов АВ и АС:
ABAC=|AB||AC|cos(BAC)
Так как векторы АВ и АС имеют одинаковые направления, то cos(BAC)=1. Также, поскольку треугольник равносторонний, |AB|=|AC|. Подставляя значения, получаем:
ABAC=|AB||AC|1=|AB||AC|

- Скалярное произведение пары векторов ВА и ВС:
BABC=|BA||BC|cos(ABC)
Так как векторы ВА и ВС имеют противоположные направления, то cos(ABC)=1. Подставляя значения, получаем:
BABC=|BA||BC|1=|BA||BC|

- Скалярное произведение пары векторов СА и СВ:
CACB=|CA||CB|cos(BCA)
Так как векторы СА и СВ имеют противоположные направления, то cos(BCA)=1. Подставляя значения, получаем:
CACB=|CA||CB|1=|CA||CB|

Таким образом, скалярные произведения пар векторов АВ и АС, ВА и ВС, СА и СВ равны, но имеют противоположные знаки. Следовательно, верное утверждение будет звучать так: "В равностороннем треугольнике скалярное произведение пар векторов АВ и АС, ВА и ВС, СА и СВ равны, но имеют противоположные знаки".

3) Рассмотрим скалярное произведение векторов АС и АВ, равное -11.

a) Для угла А прямого у скалярного произведения векторов сумма произведений модулей координат равна нулю, то есть:
ACAB=|AC||AB|cos(CAB)=0
Однако, в данной задаче мы получили, что скалярное произведение равно -11. Таким образом, нельзя утверждать, что угол А прямой.

b) Для острого угла А угол между векторами АС и АВ удовлетворяет неравенству:
ACAB=|AC||AB|cos(CAB)>0
Однако, в данной задаче мы получили, что скалярное произведение равно -11. Таким образом, нельзя утверждать, что угол А острый.

c) Для тупого угла А угол между векторами АС и АВ удовлетворяет неравенству:
ACAB=|AC||AB|cos(CAB)<0
В данной задаче скалярное произведение равно -11, что отрицательное число. Таким образом, можно утверждать, что угол А тупой.

Итак, ответы на вопросы:

a) Нельзя утверждать, что угол А прямой.
b) Нельзя утверждать, что угол А острый.
c) Можно утверждать, что угол А тупой.