1) Верно ли утверждение, что треугольник АВС прямоугольный, если скалярное произведение векторов СВ и СА равно нулю?

Vesenniy_Les

46

1) Чтобы ответить на первый вопрос, воспользуемся свойством скалярного произведения векторов. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы ортогональны, то есть образуют прямой угол между собой. В данном случае, если скалярное произведение векторов СВ и СА равно нулю, то это означает, что векторы СВ и СА являются перпендикулярными друг другу. Однако, это не даёт нам информации о третьем векторе СА. Таким образом, верное утверждение будет звучать так: "Если скалярное произведение векторов СВ и СА равно нулю, то это означает, что векторы СВ и СА являются перпендикулярными друг другу, но нельзя однозначно сказать, что треугольник АВС является прямоугольным".

2) Для равностороннего треугольника все стороны равны, а углы равны 60 градусов. Проверим утверждение, рассматривая скалярное произведение пар векторов.

- Скалярное произведение пары векторов АВ и АС:
\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(\angle BAC) \]
Так как векторы АВ и АС имеют одинаковые направления, то \(\cos(\angle BAC) = 1\). Также, поскольку треугольник равносторонний, \(|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}|\). Подставляя значения, получаем:
\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot 1 = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \]

- Скалярное произведение пары векторов ВА и ВС:
\[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos(\angle ABC) \]
Так как векторы ВА и ВС имеют противоположные направления, то \(\cos(\angle ABC) = -1\). Подставляя значения, получаем:
\[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot -1 = -|\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \]

- Скалярное произведение пары векторов СА и СВ:
\[ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = |\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}| \cdot \cos(\angle BCA) \]
Так как векторы СА и СВ имеют противоположные направления, то \(\cos(\angle BCA) = -1\). Подставляя значения, получаем:
\[ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = |\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}| \cdot -1 = -|\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}| \]

Таким образом, скалярные произведения пар векторов АВ и АС, ВА и ВС, СА и СВ равны, но имеют противоположные знаки. Следовательно, верное утверждение будет звучать так: "В равностороннем треугольнике скалярное произведение пар векторов АВ и АС, ВА и ВС, СА и СВ равны, но имеют противоположные знаки".

3) Рассмотрим скалярное произведение векторов АС и АВ, равное -11.

a) Для угла А прямого у скалярного произведения векторов сумма произведений модулей координат равна нулю, то есть:
\[ AC \cdot AB = |AC| \cdot |AB| \cdot \cos(\angle CAB) = 0 \]
Однако, в данной задаче мы получили, что скалярное произведение равно -11. Таким образом, нельзя утверждать, что угол А прямой.

b) Для острого угла А угол между векторами АС и АВ удовлетворяет неравенству:
\[ AC \cdot AB = |AC| \cdot |AB| \cdot \cos(\angle CAB) > 0 \]
Однако, в данной задаче мы получили, что скалярное произведение равно -11. Таким образом, нельзя утверждать, что угол А острый.

c) Для тупого угла А угол между векторами АС и АВ удовлетворяет неравенству:
\[ AC \cdot AB = |AC| \cdot |AB| \cdot \cos(\angle CAB) < 0 \]
В данной задаче скалярное произведение равно -11, что отрицательное число. Таким образом, можно утверждать, что угол А тупой.

Итак, ответы на вопросы:

a) Нельзя утверждать, что угол А прямой.
b) Нельзя утверждать, что угол А острый.
c) Можно утверждать, что угол А тупой.