1. What is the probability that a randomly selected lamp that has been in operation for more than 1000 hours is from

Radio

34

Задача 1:

Для того чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная лампа, которая находится в работе более 1000 часов, принадлежит ко второй партии, нам необходимо воспользоваться формулой условной вероятности.

Пусть:
- \(A\) - лампа принадлежит ко второй партии,
- \(B\) - лампа находится в работе более 1000 часов.

Тогда вероятность того, что лампа принадлежит ко второй партии при условии, что она находится в работе более 1000 часов, равна:
\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

\[ P(A|B) = \frac{0.75 \times \frac{200}{600}}{0.8 \times \frac{100 + 200 + 300}{600}} \]

\[ P(A|B) = \frac{0.15}{0.6875} \]

Вычислив данное выражение, мы получим вероятность того, что выбранная лампа принадлежит ко второй партии при условии, что она находится в работе более 1000 часов.

Задача 2:

Пусть:
- \(X\) - количество попаданий в мишень из двух выстрелов.
- \(p\) - вероятность попадания в мишень одним выстрелом.

Распределение вероятностей для случайной величины \(X\) будет распределением Бернулли, где \(X\) может принимать значения 0 и 1.

Таким образом, вероятность того, что случайная величина \(X\) примет значение \(k\) (где \(k = 0, 1\)) равна:
\[ P(X = k) = C_n^k \times p^k \times (1-p)^{n-k} \]

Для \(n = 2\), \(p = 0.8\) имеем:
\[ P(X = 0) = C_2^0 \times 0.8^0 \times 0.2^2 = 0.04 \]
\[ P(X = 1) = C_2^1 \times 0.8^1 \times 0.2^1 = 0.32 \]

Теперь можем вычислить математическое ожидание (среднее значение), дисперсию и стандартное отклонение случайной величины \(X\):
\[ E(X) = np = 2 \times 0.8 = 1.6 \]
\[ Var(X) = np(1-p) = 2 \times 0.8 \times 0.2 = 0.32 \]
\[ \sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{0.32} \approx 0.565 \]

Теперь мы можем построить распределение для данной случайной величины \(X\) с вероятностями \(P(X = 0)\) и \(P(X = 1\), чтобы визуализировать распределение.