1) x - y = 2z 2) x + z = 2y 3) 2x - y = z 4) 2z - x

Kiska

54

Давайте решим данную систему уравнений методом подстановки. В системе имеется 4 уравнения:

Уравнение 1: \(x - y = 2z\)
Уравнение 2: \(x + z = 2y\)
Уравнение 3: \(2x - y = z\)
Уравнение 4: \(2z - x\)

Давайте начнем с уравнения 4 и выразим \(x\):

Уравнение 4: \(2z - x\)

Перенесем члены уравнения на другую сторону:

\(x = 2z - \)

Теперь у нас есть значение \(x\) в виде выражения. Давайте продолжим с уравнением 1 и заменим \(x\) в этом уравнении:

Уравнение 1: \(x - y = 2z\)

Подставим значение \(x\) из уравнения 4:

\(2z - y - y = 2z\)

Распределим коэффициенты и упростим уравнение:

\(2y - 2z = -y\)

Теперь у нас есть уравнение 2, которое связывает \(y\) и \(z\). Перепишем его для удобства:

\(-y + 2y - 2z = 0\)

Упростим это уравнение:

\(y - 2z = 0\)

Посмотрим теперь на уравнение 3:

Уравнение 3: \(2x - y = z\)

Заменим \(y\) в этом уравнении:

\(2x - (y - 2z) = z\)

Распределим коэффициенты и упростим уравнение:

\(2x + 2z = 2z + z\)

Уберем одинаковые члены и упростим:

\(2x = z\)

Теперь у нас есть уравнение 2, которое связывает \(x\) и \(z\). Перепишем его для удобства:

\(2x - z = 0\)

Итак, мы получили систему двух уравнений:

\(y - 2z = 0\) (Уравнение 2)
\(2x - z = 0\) (Уравнение 3)

Мы можем решить эту систему методом подстановки или методом сложения уравнений. Оба метода приведут к одинаковому решению.

Давайте решим эту систему методом сложения уравнений, чтобы найти значения переменных \(x\), \(y\) и \(z\).

Сложим уравнения 2 и 3:

\((y - 2z) + (2x - z) = 0 + 0\)

Распределение и упрощение коэффициентов дает нам:

\(y + 2x - 3z = 0\)

Теперь у нас есть еще одно уравнение, которое связывает все три переменные \(x\), \(y\) и \(z\). Перепишем его:

\(2x + y - 3z = 0\)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\(y - 2z = 0\)
\(2x + y - 3z = 0\)

Мы можем решить эту систему методом подстановки или методом сложения уравнений. Давайте решим ее методом подстановки.

В первом уравнении выразим \(y\):

\(y = 2z\)

Теперь заменим \(y\) во втором уравнении:

\(2x + (2z) - 3z = 0\)

Упростим это уравнение:

\(2x - z = 0\)

Итак, у нас есть система из двух уравнений:

\(y - 2z = 0\) (Уравнение 1)
\(2x - z = 0\) (Уравнение 4)

Мы можем решить эту систему методом подстановки или методом сложения уравнений. Оба метода приведут к одинаковому решению.

Решим эту систему методом сложения уравнений, чтобы найти значения переменных \(x\), \(y\) и \(z\).

Умножим уравнение 1 на 2:

\(2(y - 2z) = 2 \cdot 0\)

Распределим коэффициенты и упростим уравнение:

\(2y - 4z = 0\)

Теперь сложим это уравнение с уравнением 4:

\(2y - 4z + 2x - z = 0\)

Распределение и упрощение коэффициентов дает нам:

\(2y + 2x - 5z = 0\)

Теперь у нас есть еще одно уравнение, которое связывает все три переменные \(x\), \(y\) и \(z\). Откорректированное уравнение:

\(2x + 2y - 5z = 0\)

Мы получили систему двух уравнений:

\(2x + y - 3z = 0\) (Уравнение 3)
\(2x + 2y - 5z = 0\) (Уравнение 5)

Обратите внимание, что уравнение 5 можно упростить, разделив все его коэффициенты на 2:

\(x + y - \frac{5}{2}z = 0\)

Итак, у нас есть система из двух уравнений:

\(2x + y - 3z = 0\) (Уравнение 3)
\(x + y - \frac{5}{2}z = 0\) (Уравнение 5)

Мы можем решить эту систему методом подстановки или методом сложения. Давайте выберем метод подстановки.

Разрешим Уравнение 3 относительно \(y\):

\(y = 3z - 2x\)

Теперь подставим это значение \(y\) в Уравнение 5:

\(x + (3z - 2x) - \frac{5}{2}z = 0\)

Мы распределили коэффициенты и упростили уравнение:

\(-x - \frac{3}{2}z = 0\)

Умножим это уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака:

\(x + \frac{3}{2}z = 0\)

Итак, теперь у нас есть система из двух уравнений:

\(y = 3z - 2x\) (Уравнение 6)
\(x + \frac{3}{2}z = 0\) (Уравнение 7)

Окончательное решение:

\(y = 3z - 2x\) (Уравнение 6)
\(x + \frac{3}{2}z = 0\) (Уравнение 7)

Теперь у вас есть уравнение 6, которое показывает значение \(y\) через \(x\) и \(z\), и уравнение 7, которое показывает значение \(x\) через \(z\). Вы можете использовать эти уравнения для определения значений переменных \(x\), \(y\) и \(z\).