1. Яка є довжина хорди МК, якщо у колі радіусом 17 см проведено перпендикулярну до діаметра АВ хорду, а

Ivanovich

40

1. Щоб знайти довжину хорди МК, нам потрібно використати властивості кола та трикутника MOK. Давайте розглянемо це крок за кроком.

Крок 1: Намагаємося зобразити проблему. Нехай це буде коло з центром О і радіусом 17 см. Діаметр АВ паралельний хорді МК.

Крок 2: Зафіксуйте вказані величини. Дано, що кут МОК дорівнює 60°.

Крок 3: Зверніть увагу, що діаметр АВ і хорда МК створюють прямий кут. Тому трикутник MOK - прямокутний трикутник.

Крок 4: Застосуємо теорему Піфагора до трикутника MOK. Знаючи длину катета MO (радіус кола - 17 см) та кут МОК (60°), ми можемо знайти длину відрізка МК.

Застосуємо формулу теореми Піфагора: \(MK^2 = MO^2 + OK^2\).

Оскільки кут МОК дорівнює 60°, то поєднуючи кутову мірку з теоремою косинусів, ми можемо знайти длину суми двох сторін трикутника: \(MK^2 = MO^2 + OK^2 - 2 \times MO \times OK \times \cos(60°)\).

Значення косинусу 60° дорівнює 1/2, тому ми можемо замінити його у формулу: \(MK^2 = MO^2 + OK^2 - MO \times OK\).

Крок 5: Підставимо відомі значення: \(MK^2 = 17^2 + OK^2 - 17 \times OK\).

Крок 6: Ми також знаємо, що хорда МК перпендикулярна до діаметра АВ. Оскільки діаметр АВ проходить через центр кола, то він проходить також і через точку перетину МОК, що означає, що ОК є радіусом кола довжиною 17 см. Тому \(OK = 17\).

Крок 7: Підставимо значення для OK: \(MK^2 = 17^2 + 17^2 - 17 \times 17\).

Крок 8: Вирішимо формулу: \(MK^2 = 289 + 289 - 289 = 289\).

Крок 9: Щоб знайти довжину хорди МК, відступимо від формули, взявши квадратний корінь із обох боків: \(MK = \sqrt{289} = 17\) см.

Таким чином, довжина хорди МК дорівнює 17 см.

2. Щоб знайти кут ВОС, нам знову знадобиться знання про властивості кола та дотичні. Давайте розглянемо це крок за кроком.

Крок 1: Намагаємося зобразити проблему. Нехай О - центр кола, А - точка, з якої проведені дотичні AB і AC, а також АО = 18 см і АВ = 9 см.

Крок 2: Дотична, проведена з точки до кола, прямокутна до радіусу кола.

Крок 3: Отже, кут між дотичною та радіусом кола у точці дотику буде прямим кутом.

Крок 4: Ми знаємо, що радіус кола - це всередині кута, який ми шукаємо. Тому, знаючи значення АО (18 см) і АВ (9 см), ми можемо знайти величину цього кута (ВОС).

Крок 5: Застосуємо теорему Піфагора до прямокутного трикутника ОВА для знаходження сторони ОС: \(ОС^2 = ОВ^2 - АВ^2\).

Підставляємо відомі значення: \(ОС^2 = 18^2 - 9^2\).

Вирішуємо формулу: \(ОС^2 = 324 - 81 = 243\).

Для знаходження ОС візьмемо квадратний корінь з обох боків: \(ОС = \sqrt{243} = 3 \times \sqrt{27}\).

Крок 6: Застосуємо теорему синусів до трикутника ОСВ, щоб знайти кут ВОС.

Теорема синусів стверджує, що \( \frac{ОВ}{\sin(ВОС)} = \frac{ОС}{\sin(ОСВ)}\).

Оскільки кут ОСВ - прямий, то \(\sin(ОСВ) = 1\).

Тепер ми можемо спростити формулу: \( ОВ = ОС \times \sin(ВОС)\).

Підставимо відомі значення: \(9 = 3 \times \sqrt{27} \times \sin(ВОС)\).

Крок 7: Вирішимо формулу: \(\sin(ВОС) = \frac{9}{3 \times \sqrt{27}}\).

\(\sin(ВОС) = \frac{3}{\sqrt{27}} = \frac{3}{3 \times \sqrt{3}}\).

\(\sin(ВОС) = \frac{1}{\sqrt{3}}\).

Крок 8: Щоб знайти кут ВОС, застосуємо функцію арксинуса (обернена функція синуса) до обох боків рівняння.

\(ВОС = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\).

\(ВОС ≈ 30°\).

Таким чином, кут ВОС близький до 30°.

3. Щоб знайти відстань від точки А до центра кола, нам знову знадобиться знання про властивості кола та дві дотичні. Давайте розглянемо це крок за кроком.

Крок 1: Намагаємося зобразити проблему. Нехай О - центр кола, а А - точка, дотичні проведено з точки А до кола, між якими кут становить 60 градусів. Отже, що ми хочемо знайти відстань від точки А до центру кола.

Крок 2: Ми знаємо, що дотична до кола у точці дотику є прямокутною до радіуса кола.

Крок 3: З попередньої задачі ми показали, що довжина окремої дотичної визначається як (радіус кола)*(синус кута між дотичними).

Крок 4: Тому, щоб знайти відстань від точки А до центра кола, ми можемо використовувати вище вказану формулу для однієї з дотичних, підставляючи значення радіуса і кута.

Крок 5: Радіус кола можна знайти з відомої формули, р, як половина довжини МК, а довжина МК також була знайдена у попередній задачі і дорівнює 17 см.

Тому, для даної задачі, \(Р = \frac{17}{2}\).

Крок 6: Підставимо значення у формулу: \(Дистанція = Р \times \sin(60°) = \frac{17}{2} \times \sin(60°)\).

Крок 7: Вирішимо формулу: \(Дистанція = \frac{17}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Крок 8: Спростимо формулу: \(Дистанція = \frac{17 \times \sqrt{3}}{4}\).

Подсумовуючи, відстань від точки А до центра кола дорівнює \(\frac{17 \times \sqrt{3}}{4}\).