1. Яким чином зміниться об єм піраміди при збільшенні кожної сторони у 3 рази та зменшенні висоти у 3 рази? Чому
1. Яким чином зміниться об"єм піраміди при збільшенні кожної сторони у 3 рази та зменшенні висоти у 3 рази? Чому це відбувається так? (у відповідях - збільшиться у 27 разів, хоча я вважав, що об"єм не зміниться)
2. У правильно зрізаної чотирикутної піраміди основні ребра мають довжину 3 см і 5 см, а апофема дорівнює 4 см. Знайти площу повної поверхні піраміди. (у відповідях - 98, але коли я намагався розв"язати, вийшло 64) Будь ласка, розв"яжіть це завдання з поясненнями
2. У правильно зрізаної чотирикутної піраміди основні ребра мають довжину 3 см і 5 см, а апофема дорівнює 4 см. Знайти площу повної поверхні піраміди. (у відповідях - 98, але коли я намагався розв"язати, вийшло 64) Будь ласка, розв"яжіть це завдання з поясненнями
Donna 5
1. Для решения данной задачи, мы должны учесть, что объем пирамиды определяется формулой \( V = \frac{1}{3} S \cdot h \), где \( S \) - площадь основания пирамиды, а \( h \) - высота пирамиды.Так как по условию все стороны пирамиды увеличиваются в 3 раза, значит, площадь основания будет увеличиваться в \( 3^2 = 9 \) раз. То есть, \( S" = 9S \).
Однако, высота пирамиды уменьшается в 3 раза, то есть, \( h" = \frac{h}{3} \).
Теперь мы можем найти новый объем пирамиды, подставив полученные значения \( S" \) и \( h" \) в формулу объема:
\[ V" = \frac{1}{3} S" \cdot h" = \frac{1}{3} \cdot 9S \cdot \frac{h}{3} = 3S \cdot \frac{h}{3} = S \cdot h \]
Как видим, новый объем пирамиды \( V" \) равен исходному объему пирамиды \( V \).
Таким образом, ответ в вариантах, что объем пирамиды изменится в 27 раз, является неверным. Объем пирамиды при данных условиях останется неизменным.
2. Чтобы найти площадь повной поверхности пирамиды, нам нужно сложить площади всех ее боковых граней, а также площадь основания.
У нас есть правильно зрезанная четырехугольная пирамида с основными ребрами длиной 3 см и 5 см, а апофема (расстояние от вершины пирамиды до середины ребра основания) равна 4 см.
В данной пирамиде у нас есть 4 треугольные боковые грани. Мы можем разделить каждую из этих граней на два прямоугольных треугольника, при этом основание одного из этих треугольников будет равно половине длины одной из сторон основания пирамиды, а второго - половине длины другой стороны основания.
Таким образом, можно найти площадь каждого из этих прямоугольных треугольников с помощью формулы \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \), где \( a \) и \( b \) - катеты треугольника, то есть половины сторон основания.
В нашем случае, площадь каждого треугольника будет равна:
1) Площадь первого треугольника: \( S_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 4 \) (половина стороны 3 см и высота 4 см).
2) Площадь второго треугольника: \( S_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot 4 \) (половина стороны 5 см и высота 4 см).
Таким образом, общая площадь боковых граней пирамиды равна сумме площадей этих двух треугольников:
\[ S_{\text{бок}} = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot 4 \]
Теперь нам осталось найти площадь основания пирамиды, для этого мы вычисляем площадь прямоугольного треугольника, основание которого равно 3 см, а высота равна апофеме, то есть 4 см:
\[ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \]
Далее, чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, мы должны сложить площади боковых граней и площадь основания:
\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} \]
Подставим значения:
\[ S_{\text{полн}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \]
Рассчитаем полученное выражение:
\[ S_{\text{полн}} = \frac{3}{2} \cdot 4 + \frac{5}{2} \cdot 4 + 3 \cdot 2 \]
\[ S_{\text{полн}} = 6 + 10 + 6 \]
\[ S_{\text{полн}} = 22 \]
Таким образом, площадь полной поверхности данной пирамиды составляет 22 квадратных сантиметра, что отличается от указанного ответа 98. Возможно, в вашем решении допущена ошибка расчета.