1) Яку довжину має висота трикутника, проведена до даної сторони, якщо одна із сторін трикутника дорівнює а, а прилеглі

Zolotoy_Klyuch_4384

19

Задача 1:
Для нашого розв"язку нам потрібно застосувати теорему синусів.
Запишемо теорему синусів для заданого трикутника:
\[\frac{a}{\sin 45°} = \frac{h}{\sin 60°}\]

Давайте знайдемо величину \(\sin 45°\) та \(\sin 60°\).
Синуси цих кутів можна знайти в таблиці значень, або розрахувати, використовуючи відомі значення синусів для 30° та 60°.

\(\sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}}\) , тому що \(45°\) є особливим кутом.

\(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\), так як \(60°\) - це трикутник 30-60-90, і синус 60° є відношенням протилежного катету до гіпотенузи.

Розкриваємо формулу теореми синусів та знаходимо висоту \(h\):
\[h = \frac{a \cdot \sin 60°}{\sin 45°} = \frac{a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} = a \cdot \sqrt{6}\]

Висота трикутника дорівнює \(h = a \cdot \sqrt{6}\).

Задача 2:
Для цього розв"язку нам знадобиться використати теорему Піфагора та співвідношення між висотами трикутника.
За теоремою Піфагора:
\[AB^2 = BD^2 + AD^2\]
\[BC^2 = BD^2 + CD^2\]

За умовою задачі, АВ = ВС. Тому:
\[AB = BC\]
\[BD^2 + AD^2 = BD^2 + CD^2\]

Оскільки ми знаємо співвідношення між BD і АМ (3:1), то:
\[CD = 3 \cdot AD\]

Підставимо це значення до рівняння:
\[BD^2 + AD^2 = BD^2 + (3 \cdot AD)^2\]
\[BD^2 + AD^2 = BD^2 + 9 \cdot AD^2\]
\[8 \cdot AD^2 = 0\]

Отримали рівняння \(8 \cdot AD^2 = 0\).
Оскільки \(AD\) є довжиною, вона не може бути від"ємною, тому єдиним розв"язком є \(AD = 0\).

Значить, виходить, що \(AD = 0\), тобто точка D знаходиться на прямій AB.

Задача 3:
Для розв"язку цієї задачі нам також необхідна використати теорему синусів та властивості прямокутних трикутників.
Оскільки кут між похилою DK та прямою п становить 45° і 60°, ми можемо побудувати прямокутний трикутник DKP, де KP - це проекція DK на пряму п.

Застосуємо теорему синусів для трикутника DKP:
\[\frac{DK}{\sin 60°} = \frac{KP}{\sin 45°}\]

Знаходимо значення \(\sin 60°\) та \(\sin 45°\) аналогічно до попередніх задач.

\[\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[\sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Підставимо ці значення до формули:
\[\frac{DK}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{KP}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\]

Спростимо вирази, помноживши обидві сторони рівняння на \(\sqrt{2}\):
\[\frac{DK \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = KP\]

За умовою, довжина сегмента DB дорівнює \(10\sqrt{3}\) см, тобто \(DB = 10\sqrt{3}\) см.
Знаючи це, ми можемо записати:
\[DK = DB - KP\]

Підставимо дані вирази до рівняння:
\[10\sqrt{3} = (DB - KP) \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\]

Спростимо вираз, помноживши обидві сторони рівняння на \(\sqrt{3}\):
\(10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (DB - KP) \cdot \sqrt{2}\)
\(30 = (DB - KP) \cdot \sqrt{2}\)

Помножимо обидві сторони рівняння на \(\frac{1}{\sqrt{2}}):
\(30 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = DB - KP\)
\(15\sqrt{2} = DB - KP\)

Отже, \(KP = DB - 15\sqrt{2}\).
Таким чином, довжина проекції похилої DK на пряму п дорівнює \(KP = DB - 15\sqrt{2}\) см.

Задача 4:
Для цього розв"язку ми застосуємо формулу для синуса кута в прямокутному трикутнику, оскільки кут при вершині є прямим.
Залишимо \(b\) як невідому довжину основи трикутника.

Використовуючи теорему Піфагора для трикутника, ми отримаємо:
\[a^2 = b^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2\]
\[a^2 = b^2 + \frac{b^2}{4}\]
\[a^2 = \frac{4b^2 + b^2}{4}\]
\[a^2 = \frac{5b^2}{4}\]

Помножимо обидві сторони рівняння на \(\frac{4}{5}\):
\[\frac{4}{5}a^2 = b^2\]

Використовуючи властивості квадратного кореня, ми отримаємо:
\[\sqrt{\frac{4}{5}a^2} = b\]
\[\frac{2}{\sqrt{5}}a = b\]
\[b = \frac{2a}{\sqrt{5}}\]

Тому довжина основи трикутника дорівнює \(b = \frac{2a}{\sqrt{5}}\).