1) Знайдіть висоту та твірну конуса, якщо радіус його основи становить 5 см, а кут між твірною та площиною основи

Надежда

66

1) Для решения задачи нам потрібно знайти висоту та твірну конуса.

Запишемо відомі дані: радіус основи \(r = 5\) см і кут між твірною і площиною основи \(\alpha = 60^\circ\).

Спочатку знайдемо висоту конуса. Розглянемо прямокутний трикутник, утворений основою конуса, висотою і радіусом конуса (який є гіпотенузою цього трикутника).

За теоремою синусів маємо:
\[
\frac{r}{\sin \alpha} = \frac{h}{\sin 90^\circ} \Rightarrow h = r \cdot \frac{\sin 90^\circ}{\sin \alpha} = 5 \cdot \frac{1}{\sin 60^\circ} = 5 \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 5 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx 5.77 \text{ см}
\]

Тепер знайдемо твірну конуса. Використаємо теорему косинусів:
\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
\]

Де c - твірна конуса, a - радіус основи, b - висота, C - кут між радіусом та висотою. Підставляємо відомі значення:
\[
c^2 = 5^2 + \left(\frac{10\sqrt{3}}{3}\right)^2 - 2 \cdot 5 \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3} \cdot \cos 60^\circ
\]
\[
c^2 = 25 + \frac{300}{9} - 50\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 25 + \frac{100\sqrt{3}}{3} - 25\sqrt{3} = \frac{100\sqrt{3}}{3}
\]

Отримали квадрат твірної конуса. Щоб знайти саму твірну, візьмемо квадратний корінь з цього значення:
\[
c = \sqrt{\frac{100\sqrt{3}}{3}} \approx 9.24 \text{ см}
\]

Отже, висота конуса дорівнює приблизно 5.77 см, а твірна - 9.24 см.

2) Для обчислення площі перетину паралельного основі конуса, нам потрібно знати радіус цього перетину. Дані про радіус перетину не надані, тому неможливо безпосередньо знайти його площу.

Однак, якщо у нас був би радіус перетину, то площу можна було б обчислити за формулою площі кола \(S = \pi r^2\), де \(r\) - радіус перетину.