1) Знайдіть висоту та твірну конуса, якщо радіус його основи становить 5 см, а кут між твірною та площиною основи

Надежда

66

1) Для решения задачи нам потрібно знайти висоту та твірну конуса.

Запишемо відомі дані: радіус основи $r=5$ см і кут між твірною і площиною основи $\alpha ={60}^{\circ }$.

Спочатку знайдемо висоту конуса. Розглянемо прямокутний трикутник, утворений основою конуса, висотою і радіусом конуса (який є гіпотенузою цього трикутника).

За теоремою синусів маємо:
$$\frac{r}{\sin \alpha }=\frac{h}{\sin {90}^{\circ }}\Rightarrow h=r\cdot \frac{\sin {90}^{\circ }}{\sin \alpha }=5\cdot \frac{1}{\sin {60}^{\circ }}=5\cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=5\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}\approx 5.77\text{ см}$$

Тепер знайдемо твірну конуса. Використаємо теорему косинусів:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$

Де c - твірна конуса, a - радіус основи, b - висота, C - кут між радіусом та висотою. Підставляємо відомі значення:
$$c^2=5^2+{\left(\frac{10\sqrt{3}}{3}\right)}^2-2\cdot 5\cdot \frac{10\sqrt{3}}{3}\cdot \cos {60}^{\circ }$$
$$c^2=25+\frac{300}{9}-50\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=25+\frac{100\sqrt{3}}{3}-25\sqrt{3}=\frac{100\sqrt{3}}{3}$$

Отримали квадрат твірної конуса. Щоб знайти саму твірну, візьмемо квадратний корінь з цього значення:
$$c=\sqrt{\frac{100\sqrt{3}}{3}}\approx 9.24\text{ см}$$

Отже, висота конуса дорівнює приблизно 5.77 см, а твірна - 9.24 см.

2) Для обчислення площі перетину паралельного основі конуса, нам потрібно знати радіус цього перетину. Дані про радіус перетину не надані, тому неможливо безпосередньо знайти його площу.

Однак, якщо у нас був би радіус перетину, то площу можна було б обчислити за формулою площі кола $S=\pi r^2$, де $r$ - радіус перетину.