11) Графики функций: первая часть. ФИПИ

Sladkaya_Babushka

32

Конечно, я могу помочь вам с задачей из раздела "Графики функций: первая часть" ФИПИ. Давайте решим ее пошагово.

Задача:
Найти графики функций \(y = x^2\) и \(y = \frac{1}{x}\) на одной координатной плоскости. Определить области убывания и возрастания каждой функции, а также точки экстремума и перегиба.

Решение:
Шаг 1: Построение графика функции \(y = x^2\)
Для построения графика функции \(y = x^2\) мы можем использовать таблицу значений или определить основные свойства функции. В данном случае, обратимся к свойствам функции \(y = x^2\):

- Функция является параболой, открывающейся вверх, так как коэффициент перед \(x^2\) равен 1 и положительный.
- Вершина параболы находится в точке \((0, 0)\), так как это начало координат.
- Функция симметрична относительно оси Oy.

Используя эти свойства, мы можем нарисовать график функции \(y = x^2\).
\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\ \hline
-2 & 4 \\
-1 & 1 \\
0 & 0 \\
1 & 1 \\
2 & 4 \\
\end{array}
\]

На основе этих значений и основных свойств функции, мы получаем следующий график:

\[
\begin{array}{}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel = \(x\),
ylabel = \(y\),
xmin=-3, xmax=3,
ymin=-1, ymax=5,
xtick={-2,-1,0,1,2},
ytick={0,1,4},
xticklabels={-2,-1,0,1,2},
yticklabels={0,1,4},
legend pos=north west,
]
\addplot [
domain=-2.2:2.2,
samples=100,
color=blue,
]
{x^2};
\addlegendentry{\(y = x^2\)}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Таким образом, график функции \(y = x^2\) представляет собой параболу, открывающуюся вверх, с вершиной в точке \((0, 0)\).

Шаг 2: Построение графика функции \(y = \frac{1}{x}\)
Для построения графика функции \(y = \frac{1}{x}\), снова обратимся к ее основным свойствам:

- Функция является гиперболой.
- График функции имеет асимптоты \(y = 0\) и \(x = 0\).
- Функция симметрична относительно начала координат.

Используя эти свойства, мы можем построить график функции \(y = \frac{1}{x}\).

\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\ \hline
-2 & -\frac{1}{2} \\
-1 & -1 \\
-0.5 & -2 \\
0.5 & 2 \\
1 & 1 \\
2 & \frac{1}{2} \\
\end{array}
\]

На основе этих значений и основных свойств функции, мы получаем следующий график:

\[
\begin{array}{}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel = \(x\),
ylabel = \(y\),
xmin=-3, xmax=3,
ymin=-5, ymax=5,
xtick={-2,-1,0,1,2},
ytick={-2,-1,1,2},
xticklabels={-2,-1,0,1,2},
yticklabels={-2,-1,1,2},
legend pos=north west,
]
\addplot [
domain=-3:-0.2,
samples=100,
color=red,
]
{1/x};
\addplot [
domain=0.2:3,
samples=100,
color=red,
]
{1/x};
\addlegendentry{\(y = \frac{1}{x}\)}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Таким образом, график функции \(y = \frac{1}{x}\) представляет собой гиперболу, симметричную относительно начала координат, с асимптотами \(y = 0\) и \(x = 0\).

Шаг 3: Определение областей убывания и возрастания
- Функция \(y = x^2\) возрастает на всей своей области определения (-∞,∞), так как коэффициент перед \(x^2\) положительный.
- Функция \(y = \frac{1}{x}\) возрастает на интервалах отрицательных значений и на положительных значениях, кроме точки \(x = 0\), так как знак функции зависит от знака числа, а его абсолютное значение растет при увеличении аргумента.

Шаг 4: Определение точек экстремума и перегибов
- Функция \(y = x^2\) не имеет точек экстремума и перегибов, так как имеет форму параболы и всегда возрастает.
- Функция \(y = \frac{1}{x}\) также не имеет точек экстремума и перегибов, так как имеет форму гиперболы и всегда возрастает.

Таким образом, мы рассмотрели графики функций \(y = x^2\) и \(y = \frac{1}{x}\) на одной координатной плоскости, определили области убывания и возрастания каждой функции и установили, что у них нет точек экстремума и перегибов.