Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника ABC, где угол C равен 90 градусов, CH - высота, AC равно 6
Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника ABC, где угол C равен 90 градусов, CH - высота, AC равно 6 см, а AH равно 4 см.
Золотой_Монет 64
Пусть длина гипотенузы треугольника ABC равна \(x\) сантиметрам. Мы знаем, что у треугольника ABC прямой угол в вершине C и высота CH, которая перпендикулярна к стороне AB. Мы также знаем, что AC равно 6 см, а AH равно \(y\) сантиметрам.Используя теорему Пифагора, мы можем записать соотношение:
\[AC^2 + CH^2 = x^2\]
Также, по определению, высота является перпендикуляром к основанию треугольника, поэтому CH является высотой, опущенной из прямого угла C. Это означает, что CH является катетом прямоугольного треугольника.
Теперь давайте внимательно посмотрим на треугольник ABH. У него есть катет AH длиной \(y\) см и гипотенуза AB длиной 6 см. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы записать соотношение для этого треугольника:
\[AH^2 + BH^2 = AB^2\]
Учитывая, что AB равно 6 см и AH равно \(y\) см, мы можем переписать это соотношение:
\[y^2 + BH^2 = 6^2\]
Теперь мы можем заметить следующее: катет CH прямоугольного треугольника ABC является гипотенузой треугольника ABH. Почему? Потому что CH и BH являются противоположными и перпендикулярными к сторонам треугольника ABH.
Это означает, что BH равна CH. Мы можем заменить BH в последнем уравнении на CH:
\[y^2 + CH^2 = 6^2\]
Напомним, что мы также знаем, что CH является катетом прямоугольного треугольника ABC. Мы можем получить новое уравнение, заменяя CH на \(x\):
\[y^2 + x^2 = 6^2\]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
\[
\begin{align*}
AC^2 + CH^2 &= x^2 \\
y^2 + x^2 &= 6^2
\end{align*}
\]
Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения \(x\) и \(y\).
Сначала выразим \(y^2\) из второго уравнения:
\[y^2 = 6^2 - x^2\]
Теперь подставим это значение в первое уравнение:
\[AC^2 + CH^2 = x^2\]
\[6^2 - x^2 + x^2 = x^2\]
\[36 = 2x^2\]
\[x^2 = \frac{36}{2}\]
\[x^2 = 18\]
Чтобы найти \(x\), возьмем квадратный корень из обеих сторон:
\[x = \sqrt{18}\]
Таким образом, длина гипотенузы прямоугольного треугольника ABC равна \(\sqrt{18}\) см.