11. Які значення радіуса кола, яке описано навколо рівнобічної трапеції, з основами 7 см і 25 см і боковими сторонами

Кедр

53

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать свойства равнобедренной трапеции и свойства описанного окружности.

Для начала, у нас есть равнобедренная трапеция с основаниями длиной 7 см и 25 см, а также боковыми сторонами длиной 15 см.

Свойство равнобедренной трапеции гласит, что у нее две боковые стороны (также называемые боковыми парами) равны. В нашем случае, это стороны длиной 15 см.

Далее, мы знаем, что описанное окружностью радиуса \(r\) вокруг равнобедренной трапеции будет касаться всех ее сторон.

Можем обозначить \(r\) как радиус описанной окружности и провести перпендикуляры от центра окружности к каждой стороне трапеции, образовав медианы. Эти медианы будут равны радиусу описанной окружности.

Так как боковые стороны трапеции имеют длину 15 см, и медиана делит боковую сторону пополам, мы можем найти значение этой медианы с помощью теоремы Пифагора.

В нашем случае, мы можем рассмотреть одну половину боковой стороны как катет прямоугольного треугольника, а радиус описанной окружности как гипотенузу. Вторая половина боковой стороны также будет равной катету прямоугольного треугольника.

Применяя теорему Пифагора, мы получаем следующее уравнение:

\(\left(\frac{15}{2}\right)^2 + \left(\frac{r}{2}\right)^2 = r^2\)

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

\(\frac{225}{4} + \frac{r^2}{4} = r^2\)

Умножим обе стороны уравнения на 4, чтобы устранить знаменатель:

\(225 + r^2 = 4r^2\)

Перенесем все члены уравнения на одну сторону и получим квадратное уравнение:

\(3r^2 - 225 = 0\)

Теперь мы можем решить это уравнение с помощью метода факторизации или формулы квадратного корня.

Факторизация данного уравнения будет сложной задачей, поэтому воспользуемся формулой квадратного корня:

\[r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

В данном случае, у нас есть \(a = 3\), \(b = 0\), \(c = -225\).

Подставив значения, получаем:

\[r = \frac{-0 \pm \sqrt{0^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-225)}}{2 \cdot 3}\]

Вычисляя выражение под корнем и упрощая его, получаем:

\[r = \frac{\sqrt{2700}}{6}\]

\[r = \frac{30\sqrt{3}}{6}\]

\[r = 5\sqrt{3}\]

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг данной равнобедренной трапеции, равен \(5\sqrt{3}\) см.