а) Каково уравнение сферы, если отрезок AB, заданный точками A(2; −1; 4) и B (2; 7; 10), является ее диаметром?

Скрытый_Тигр

46

Хорошо, начнем с задачи А.

Уравнение сферы в трехмерном пространстве имеет вид $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=r^2$, где $(a,b,c)$ - это координаты центра сферы, а $r$ - радиус сферы.

Мы знаем, что отрезок AB является диаметром сферы. Чтобы найти его уравнение, необходимо вычислить середину диаметра и радиус сферы. Затем мы сможем записать уравнение сферы.

1. Шаг: Найдем середину диаметра (центр сферы).
Середина диаметра равна среднему значению координат его концов. В данном случае, координаты точек A(2; −1; 4) и B(2; 7; 10).

$a=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{2+2}{2}=2$

$b=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{-1+7}{2}=3$

$c=\frac{z_A+z_B}{2}=\frac{4+10}{2}=7$

Таким образом, центр сферы имеет координаты (2, 3, 7).

2. Шаг: Найдем радиус сферы.
Радиус сферы равен половине длины диаметра. В данном случае, длина диаметра равна расстоянию от точки A до точки B.

$\mathrm{\Delta }x=x_B-x_A=2-2=0$
$\mathrm{\Delta }y=y_B-y_A=7-(-1)=8$
$\mathrm{\Delta }z=z_B-z_A=10-4=6$

Длина диаметра $d=\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2+\mathrm{\Delta }{z}^2}=\sqrt{0^2+8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$

Радиус сферы равен половине длины диаметра, то есть $r=\frac{d}{2}=\frac{10}{2}=5$

3. Шаг: Запись уравнения сферы.
Теперь, когда у нас есть центр сферы (2, 3, 7) и радиус $r=5$, мы можем записать уравнение сферы в виде:

$(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z-7{)}^2=5^2$

Или, раскрывая скобки и упрощая:

$(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z-7{)}^2=25$

Ответ на задачу А: уравнение сферы, если отрезок AB является ее диаметром, равно $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z-7{)}^2=25$.

Перейдем к задаче Б.

Мы должны найти кратчайшее расстояние от точки, принадлежащей заданной сфере, до данной плоскости.

Поскольку сфера задана уравнением $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z-7{)}^2=25$, центр сферы находится в точке (2, 3, 7).

Чтобы найти кратчайшее расстояние, мы должны сначала найти точку на плоскости, к которой это расстояние будет минимальным.

Так как у нас нет конкретного уравнения плоскости, мы не можем найти эту точку. Но мы можем обобщить и сказать, что самая короткая дистанция будет от центра сферы. Получается, что кратчайшее расстояние от точки, принадлежащей сфере, до данной плоскости будет равно расстоянию от центра сферы до плоскости.

Ответ на задачу Б: кратчайшее расстояние от точки, принадлежащей сфере, до данной плоскости будет равно расстоянию от центра сферы (2, 3, 7) до плоскости.