а) Каково уравнение сферы, если отрезок AB, заданный точками A(2; −1; 4) и B (2; 7; 10), является ее диаметром?

Скрытый_Тигр

46

Хорошо, начнем с задачи А.

Уравнение сферы в трехмерном пространстве имеет вид \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\), где \((a, b, c)\) - это координаты центра сферы, а \(r\) - радиус сферы.

Мы знаем, что отрезок AB является диаметром сферы. Чтобы найти его уравнение, необходимо вычислить середину диаметра и радиус сферы. Затем мы сможем записать уравнение сферы.

1. Шаг: Найдем середину диаметра (центр сферы).
Середина диаметра равна среднему значению координат его концов. В данном случае, координаты точек A(2; −1; 4) и B(2; 7; 10).

\(a = \frac{{x_A + x_B}}{2} = \frac{{2 + 2}}{2} = 2\)

\(b = \frac{{y_A + y_B}}{2} = \frac{{-1 + 7}}{2} = 3\)

\(c = \frac{{z_A + z_B}}{2} = \frac{{4 + 10}}{2} = 7\)

Таким образом, центр сферы имеет координаты (2, 3, 7).

2. Шаг: Найдем радиус сферы.
Радиус сферы равен половине длины диаметра. В данном случае, длина диаметра равна расстоянию от точки A до точки B.

\(\Delta x = x_B - x_A = 2 - 2 = 0\)
\(\Delta y = y_B - y_A = 7 - (-1) = 8\)
\(\Delta z = z_B - z_A = 10 - 4 = 6\)

Длина диаметра \(d = \sqrt{{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}} = \sqrt{{0^2 + 8^2 + 6^2}} = \sqrt{{100}} = 10\)

Радиус сферы равен половине длины диаметра, то есть \(r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5\)

3. Шаг: Запись уравнения сферы.
Теперь, когда у нас есть центр сферы (2, 3, 7) и радиус \(r = 5\), мы можем записать уравнение сферы в виде:

\((x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 7)^2 = 5^2\)

Или, раскрывая скобки и упрощая:

\((x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 7)^2 = 25\)

Ответ на задачу А: уравнение сферы, если отрезок AB является ее диаметром, равно \((x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 7)^2 = 25\).

Перейдем к задаче Б.

Мы должны найти кратчайшее расстояние от точки, принадлежащей заданной сфере, до данной плоскости.

Поскольку сфера задана уравнением \((x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 7)^2 = 25\), центр сферы находится в точке (2, 3, 7).

Чтобы найти кратчайшее расстояние, мы должны сначала найти точку на плоскости, к которой это расстояние будет минимальным.

Так как у нас нет конкретного уравнения плоскости, мы не можем найти эту точку. Но мы можем обобщить и сказать, что самая короткая дистанция будет от центра сферы. Получается, что кратчайшее расстояние от точки, принадлежащей сфере, до данной плоскости будет равно расстоянию от центра сферы до плоскости.

Ответ на задачу Б: кратчайшее расстояние от точки, принадлежащей сфере, до данной плоскости будет равно расстоянию от центра сферы (2, 3, 7) до плоскости.