12. Дан треугольник ABC с координатами его вершин. Найдите длины сторон треугольника и определите тип треугольника

Вода

9

Хорошо, начнем с задачи номер 12. Дан треугольник ABC с координатами его вершин A(6;0), B(6;8) и C(3;4).

Длина стороны AB рассчитывается по формуле расстояния между двумя точками в декартовой системе координат.

AB = \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) = \(\sqrt{(6 - 6)^2 + (8 - 0)^2}\) = \(\sqrt{0 + 64}\) = \(\sqrt{64}\) = 8

Таким же образом, найдем длины сторон BC и AC:

BC = \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) = \(\sqrt{(3 - 6)^2 + (4 - 8)^2}\) = \(\sqrt{9+16}\) = \(\sqrt{25}\) = 5

AC = \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) = \(\sqrt{(3 - 6)^2 + (4 - 0)^2}\) = \(\sqrt{9 + 16}\) = \(\sqrt{25}\) = 5

Теперь, чтобы определить тип треугольника, сравним длины его сторон.

Если все три стороны равны между собой (AB = BC = AC), то треугольник является равносторонним.

Если две стороны треугольника равны (AB = BC, AB ≠ AC, BC ≠ AC), то треугольник является равнобедренным.

В нашем случае стороны AB и AC равны, а сторона BC отличается. Значит, треугольник ABC является равнобедренным.

Теперь перейдем к задаче номер 11. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником и найдите его площадь. Координаты вершин: A(16;3), B(20;7), C(18;9) и D(14;5).

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нужно проверить, являются ли его противоположные стороны параллельными и имеют ли они равные длины.

Для этого, вычислим длины сторон AB, BC, CD и DA:

AB = \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) = \(\sqrt{(20 - 16)^2 + (7 - 3)^2}\) = \(\sqrt{16 + 16}\) = \(\sqrt{32}\)

BC = \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) = \(\sqrt{(18 - 20)^2 + (9 - 7)^2}\) = \(\sqrt{4 + 4}\) = \(\sqrt{8}\)

CD = \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) = \(\sqrt{(14 - 18)^2 + (5 - 9)^2}\) = \(\sqrt{16 + 16}\) = \(\sqrt{32}\)

DA = \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) = \(\sqrt{(14 - 16)^2 + (5 - 3)^2}\) = \(\sqrt{4 + 4}\) = \(\sqrt{8}\)

Теперь проверим, являются ли стороны AB и CD параллельными, а стороны BC и DA параллельными.

AB и CD параллельны, если их коэффициенты наклона равны. Вычислим их коэффициент наклона:

Коэффициент наклона AB = (y2-y1) / (x2-x1) = (7-3) / (20-16) = 4 / 4 = 1

Коэффициент наклона CD = (y2-y1) / (x2-x1) = (5-9) / (14-18) = -4 / -4 = 1

AB и CD имеют одинаковый коэффициент наклона, значит, они параллельны.

BC и DA, аналогично:

Коэффициент наклона BC = (y2-y1) / (x2-x1) = (9-7) / (18-20) = 2 / -2 = -1

Коэффициент наклона DA = (y2-y1) / (x2-x1) = (3-5) / (16-14) = -2 / 2 = -1

BC и DA также имеют одинаковый коэффициент наклона, значит, они параллельны.

Таким образом, все противоположные стороны AB и CD, а также BC и DA, параллельны, а их длины равны. Следовательно, четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Чтобы найти площадь прямоугольника ABCD, нужно вычислить произведение длин его сторон. В нашем случае, площадь SABCD = AB * BC = \(\sqrt{32} * \sqrt{8}\) = \(\sqrt{256}\) = 16.

Перейдем теперь к выполнению задания номер 10. Задание: 7 Б. На координатной плоскости находится равнобедренный треугольник ABC (AC=BC). Проведены медианы AN и BM к боковым сторонам.