13.2. Предоставьте доказательство того, что следующие функции являются нечетными: 1) y = x3 + ctg2x; 2) y = x - tgx

Радуга_На_Земле

29

Давайте рассмотрим каждую функцию отдельно и докажем, что они являются нечетными.

1) Для функции \(y = x^3 + \cot^2 x\) докажем нечетность путем замены \(-x\) вместо \(x\) и проверки равенства. Подставим \(-x\) вместо \(x\):

\[y = (-x)^3 + \cot^2(-x)\]

Так как возводим в куб и берем котангенс в квадрате, знак минус в обоих случаях не влияет на результат. Поэтому:

\[y = -x^3 + \cot^2 x\]

Мы видим, что получившаяся функция совпадает с исходной функцией, но со знаком минус перед \(x^3\). Таким образом, функция \(y = x^3 + \cot^2 x\) является нечетной.

2) Для функции \(y = x - \tan x\) докажем нечетность аналогичным образом:

\[y = (-x) - \tan(-x)\]

Опять же, минус перед аргументом тангенса не влияет на результат. Получим:

\[y = -x - \tan x\]

Исходная функция и получившаяся функция совпадают с точностью до знака минус перед \(x\). Значит, функция \(y = x - \tan x\) является нечетной.

3) Для функции \(y = (2 - x^2)\tan x\) проведем аналогичное доказательство:

\[y = (2 - (-x)^2)\tan(-x)\]

Так как квадрат в любом случае дает положительный результат, знак минус в формуле квадрата не имеет значения. Получим:

\[y = (2 - x^2)\tan x\]

Функция \(y = (2 - x^2)\tan x\) также совпадает с исходной функцией, но со знаком минус перед \(x^2\). Следовательно, эта функция является нечетной.

4) Для функции \(y = 2x - \tan x\) проведем аналогичное доказательство:

\[y = 2(-x) - \tan(-x)\]

Опять же, минус перед тангенсом аргумента не влияет на результат. Получим:

\[y = -2x - \tan x\]

Исходная функция и получившаяся функция совпадают с точностью до знака минус перед \(2x\). Значит, функция \(y = 2x - \tan x\) является нечетной.

5) Для функции \(y = \cot(5x) - \frac{x}{\sin^3 x}\) проведем аналогичное доказательство:

\[y = \cot(5(-x)) - \frac{(-x)}{\sin^3(-x)}\]

Так как минус перед аргументом котангенса и синуса влияет только на знак, а не на результат, получим:

\[y = \cot(-5x) - \frac{-x}{\sin^3 x}\]

Знак минус перед \(x\) можно перенести в числитель дроби и получим:

\[y = \cot(-5x) + \frac{x}{\sin^3 x}\]

Функция \(y = \cot(5x) - \frac{x}{\sin^3 x}\) совпадает с исходной функцией, но со знаком плюс перед первым слагаемым. Значит, она является нечетной.

6) Наконец, для функции \(y = \tan^6 x\) проведем аналогичное доказательство:

\[y = \tan^6(-x)\]

Так как возведение тангенса в шестую степень не зависит от знака аргумента, получим:

\[y = \tan^6 x\]

Функция \(y = \tan^6 x\) совпадает с исходной функцией, следовательно, она является нечетной.

Таким образом, мы доказали, что все данные функции являются нечетными.