152. Определите интервалы, на которых функция y=f(x) является знакопостоянной: 3) f(x)=x^1/7 5) f(x)=x^5/8+2

Загадочная_Сова

21

Конечно, я помогу вам решить эти задачи. Давайте начнем с первой задачи.

152. Определение интервалов, на которых функция \(y=f(x)\) является знакопостоянной:
3) \(f(x)=x^{\frac{1}{7}}\)

Чтобы узнать, на каких интервалах функция \(f(x)\) является знакопостоянной, нам нужно определить знак функции на каждом интервале. Для этого нам нужно проанализировать знак выражения \(f(x)\).

Решение:
Чтобы найти интервалы, на которых функция \(f(x)=x^{\frac{1}{7}}\) является знакопостоянной, мы должны решить неравенство \(f(x) > 0\) и \(f(x) < 0\).

Начнем с \(f(x) > 0\):
\[x^{\frac{1}{7}} > 0\]

Теперь возведем обе части неравенства в степень 7, чтобы убрать знак возведения в дробную степень:
\[(x^{\frac{1}{7}})^7 > 0^7\]

Получаем:
\[x > 0\]

Этот результат означает, что функция \(f(x)\) будет положительной на интервале \(x > 0\).

Теперь рассмотрим \(f(x) < 0\):
\[x^{\frac{1}{7}} < 0\]

Аналогично, возведем обе части неравенства в степень 7:
\[(x^{\frac{1}{7}})^7 < 0^7\]

Получаем:
\[x < 0\]

Это означает, что функция \(f(x)\) будет отрицательной на интервале \(x < 0\).

Таким образом, интервалы, на которых функция \(f(x)=x^{\frac{1}{7}}\) является знакопостоянной, состоят из положительных чисел и отрицательных чисел:
\[
f(x) > 0 \text{ при } x > 0
\]
\[
f(x) < 0 \text{ при } x < 0
\]

Перейдем к следующей задаче.

153. Определение интервалов возрастания и убывания функции \(y=f(x)\):
3) \(f(x)=3+x^{\frac{1}{9}}\)

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции \(f(x)\), мы должны проанализировать производную функции. Если производная положительна, функция возрастает. Если производная отрицательна, функция убывает.

Решение:
Для определения интервалов возрастания и убывания функции \(f(x)=3+x^{\frac{1}{9}}\), возьмем производную функции \(f"(x)\):

\[f"(x)=\frac{1}{9}x^{-\frac{8}{9}}\]

Теперь проанализируем знак производной:

\[f"(x)>0 \text{ для } x>0\]
\[f"(x)<0 \text{ для } x<0\]

Это означает, что функция \(f(x)\) возрастает на интервале \(x>0\) и убывает на интервале \(x<0\).

Таким образом, интервалы возрастания и убывания функции \(f(x)=3+x^{\frac{1}{9}}\) определены следующим образом:
\[
f(x) \text{ возрастает при } x>0
\]
\[
f(x) \text{ убывает при } x<0
\]

Надеюсь, это поможет вам разобраться с задачами. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.