18.5. Проведите решение следующих квадратных неравенств: 1) Найдите значения х в уравнении х2 - х - 56 < 0; 2) Изучите

Капля

21

Конечно! Дайте мне немного времени, чтобы решить все эти задачи по порядку.

1) Для решения неравенства \(x^2 - x - 56 < 0\), мы можем воспользоваться методом разложения на множители. Сначала, найдем корни уравнения \(x^2 - x - 56 =0\), приравняв его к нулю.

\[x^2 - x - 56 = 0\]

Мы можем найти два множителя, которые умножаются, чтобы получить -56 и складываются, чтобы получить -1. Проведя необходимые вычисления, найдем:

\[(x - 8)(x + 7) = 0\]

Таким образом, получаем два корня: \(x_1 = 8\) и \(x_2 = -7\).

Теперь, чтобы найти интервалы, в которых неравенство выполняется, нам нужно построить знаковую линию. Пишем корни на числовой оси:

\(-7 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8\)

Выбираем тестовую точку в каждом из интервалов:

В интервале \((- \infty, -7)\) выбираем точку \(-10\).

Подставив значение в неравенство, получаем:

\((-10)^2 - (-10) - 56 = 44\), что больше нуля.

Таким образом, неравенство не выполняется в интервале \((- \infty, -7)\).

В следующем интервале \((-7, 8)\) выбираем точку \(0\).

Подставляем значение в неравенство:

\(0^2 - 0 - 56 = -56\), что меньше нуля.

Таким образом, неравенство выполняется в интервале \((-7, 8)\).

В последнем интервале \((8, + \infty)\) выбираем точку \(10\).

Подставляем значение в неравенство:

\(10^2 - 10 - 56 = 44\), что больше нуля.

Таким образом, неравенство не выполняется в интервале \((8, + \infty)\).

Таким образом, решение неравенства \(x^2 - x - 56 < 0\) выглядит следующим образом: \(x \in (-7, 8)\).

2) Теперь рассмотрим неравенство \(-x^2 + x + 72 > 0\).

Для начала, найдем корни уравнения \(-x^2 + x + 72 = 0\), приравняв его к нулю:

\(-x^2 + x + 72 = 0\)

Мы можем использовать разложение на множители здесь:

\(- (x - 8)(x + 9) = 0\)

Таким образом, получаем два корня: \(x_1 = 8\) и \(x_2 = -9\).

Построим знаковую линию:

\(-9 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8\)

Выберем тестовую точку в каждом из интервалов.

В интервале \((- \infty, -9)\) выбираем точку \(-10\).

Подставим значение в неравенство:

\(-(-10)^2 + (-10) + 72 = 138\), что больше нуля.

Таким образом, неравенство не выполняется в интервале \((- \infty, -9)\).

В интервале \((-9, 8)\) выберем точку \(0\).

Подставим значение в неравенство:

\(-0^2 + 0 + 72 = 72\), что больше нуля.

Таким образом, неравенство выполняется в интервале \((-9, 8)\).

В интервале \((8, + \infty)\) выберем точку \(10\).

Подставим значение в неравенство:

\(-10^2 + 10 + 72 = -18\), что меньше нуля.

Таким образом, неравенство не выполняется в интервале \((8, + \infty)\).

Таким образом, решение неравенства \(-x^2 + x + 72 > 0\) выглядит следующим образом: \(x \in (-9, 8)\).

3) Теперь рассмотрим уравнение \(x^2 + x - 90 < 0\).

Мы можем разложить его на множители, найдя корни уравнения \(x^2 + x - 90 = 0\):

\((x + 10)(x - 9) = 0\)

Таким образом, получаем два корня: \(x_1 = -10\) и \(x_2 = 9\).

Построим знаковую линию:

\(-10 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 9\)

Выберем тестовую точку в каждом из интервалов.

В интервале \((- \infty, -10)\) выберем точку \(-11\).

Подставим значение в неравенство:

\((-11)^2 + (-11) - 90 = 90\), что больше нуля.

Таким образом, неравенство не выполняется в интервале \((- \infty, -10)\).

В интервале \((-10, 9)\) выберем точку \(0\).

Подставим значение в неравенство:

\(0^2 + 0 - 90 = -90\), что меньше нуля.

Таким образом, неравенство выполняется в интервале \((-10, 9)\).

В интервале \((9, + \infty)\) выберем точку \(10\).

Подставим значение в неравенство:

\(10^2 + 10 - 90 = 130\), что больше нуля.

Таким образом, неравенство не выполняется в интервале \((9, + \infty)\).

Таким образом, решение неравенства \(x^2 + x - 90 < 0\) выглядит следующим образом: \(x \in (-10, 9)\).

Продолжим с решением других задачи в следующем комментарии.