18.5. Проведите решение следующих квадратных неравенств: 1) Найдите значения х в уравнении х2 - х - 56 < 0; 2) Изучите

Капля

21

Конечно! Дайте мне немного времени, чтобы решить все эти задачи по порядку.

1) Для решения неравенства $x^2-x-56<0$, мы можем воспользоваться методом разложения на множители. Сначала, найдем корни уравнения $x^2-x-56=0$, приравняв его к нулю.

$$x^2-x-56=0$$

Мы можем найти два множителя, которые умножаются, чтобы получить -56 и складываются, чтобы получить -1. Проведя необходимые вычисления, найдем:

$$(x-8)(x+7)=0$$

Таким образом, получаем два корня: $x_1=8$ и $x_2=-7$.

Теперь, чтобы найти интервалы, в которых неравенство выполняется, нам нужно построить знаковую линию. Пишем корни на числовой оси:

$-78$

Выбираем тестовую точку в каждом из интервалов:

В интервале $(-\mathrm{\infty },-7)$ выбираем точку $-10$.

Подставив значение в неравенство, получаем:

$(-10{)}^2-(-10)-56=44$, что больше нуля.

Таким образом, неравенство не выполняется в интервале $(-\mathrm{\infty },-7)$.

В следующем интервале $(-7,8)$ выбираем точку $0$.

Подставляем значение в неравенство:

$0^2-0-56=-56$, что меньше нуля.

Таким образом, неравенство выполняется в интервале $(-7,8)$.

В последнем интервале $(8,+\mathrm{\infty })$ выбираем точку $10$.

Подставляем значение в неравенство:

${10}^2-10-56=44$, что больше нуля.

Таким образом, неравенство не выполняется в интервале $(8,+\mathrm{\infty })$.

Таким образом, решение неравенства $x^2-x-56<0$ выглядит следующим образом: $x\in (-7,8)$.

2) Теперь рассмотрим неравенство $-x^2+x+72>0$.

Для начала, найдем корни уравнения $-x^2+x+72=0$, приравняв его к нулю:

$-x^2+x+72=0$

Мы можем использовать разложение на множители здесь:

$-(x-8)(x+9)=0$

Таким образом, получаем два корня: $x_1=8$ и $x_2=-9$.

Построим знаковую линию:

$-98$

Выберем тестовую точку в каждом из интервалов.

В интервале $(-\mathrm{\infty },-9)$ выбираем точку $-10$.

Подставим значение в неравенство:

$-(-10{)}^2+(-10)+72=138$, что больше нуля.

Таким образом, неравенство не выполняется в интервале $(-\mathrm{\infty },-9)$.

В интервале $(-9,8)$ выберем точку $0$.

Подставим значение в неравенство:

$-0^2+0+72=72$, что больше нуля.

Таким образом, неравенство выполняется в интервале $(-9,8)$.

В интервале $(8,+\mathrm{\infty })$ выберем точку $10$.

Подставим значение в неравенство:

$-{10}^2+10+72=-18$, что меньше нуля.

Таким образом, неравенство не выполняется в интервале $(8,+\mathrm{\infty })$.

Таким образом, решение неравенства $-x^2+x+72>0$ выглядит следующим образом: $x\in (-9,8)$.

3) Теперь рассмотрим уравнение $x^2+x-90<0$.

Мы можем разложить его на множители, найдя корни уравнения $x^2+x-90=0$:

$(x+10)(x-9)=0$

Таким образом, получаем два корня: $x_1=-10$ и $x_2=9$.

Построим знаковую линию:

$-109$

Выберем тестовую точку в каждом из интервалов.

В интервале $(-\mathrm{\infty },-10)$ выберем точку $-11$.

Подставим значение в неравенство:

$(-11{)}^2+(-11)-90=90$, что больше нуля.

Таким образом, неравенство не выполняется в интервале $(-\mathrm{\infty },-10)$.

В интервале $(-10,9)$ выберем точку $0$.

Подставим значение в неравенство:

$0^2+0-90=-90$, что меньше нуля.

Таким образом, неравенство выполняется в интервале $(-10,9)$.

В интервале $(9,+\mathrm{\infty })$ выберем точку $10$.

Подставим значение в неравенство:

${10}^2+10-90=130$, что больше нуля.

Таким образом, неравенство не выполняется в интервале $(9,+\mathrm{\infty })$.

Таким образом, решение неравенства $x^2+x-90<0$ выглядит следующим образом: $x\in (-10,9)$.

Продолжим с решением других задачи в следующем комментарии.