2.4 Может ли выполниться неравенство a < b < c, если известно, что b^2 - ab - bc + ac > 0? 2.5 Найдите все натуральные

Игнат

53

Решение:

2.4 Для начала, давайте разберемся, что означает неравенство \(a < b < c\). Это означает, что число \(b\) находится между числами \(a\) и \(c\) на числовой оси, и \(a\) строго меньше \(b\), а \(b\) строго меньше \(c\).

Задано неравенство \(b^2 - ab - bc + ac > 0\). Чтобы решить это неравенство, нужно найти значения \(a\), \(b\) и \(c\), которые удовлетворяют данному условию.

Давайте попробуем разложить данное неравенство на части. Изначально, это может выглядеть следующим образом:

\[b^2 - ab - bc + ac > 0\]

Далее, нам нужно попытаться упростить это выражение и привести его к более удобному виду:

\[b(b - a) - c(b - a) > 0\]

\[b(b - a) + (a - c)(b - a) > 0\]

\[(b - a)(b + a) + (a - c)(b - a) > 0\]

\[(b - a)(b + a + a - c) > 0\]

\[ (b - a)(2a + b - c) > 0\]

Теперь мы можем перейти к решению этого неравенства, используя метод интервалов.

Неравенство будет выполняться, если одно из следующих условий истинно:

1. Оба множителя \((b - a)\) и \((2a + b - c)\) положительны.
2. Оба множителя \((b - a)\) и \((2a + b - c)\) отрицательны.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно:

Условие 1: \((b - a) > 0\) и \((2a + b - c) > 0\)
- Это означает, что \(b > a\) и \(2a + b > c\).

Условие 2: \((b - a) < 0\) и \((2a + b - c) < 0\)
- Это означает, что \(b < a\) и \(2a + b < c\).

Теперь объединим оба условия и получим окончательный ответ.

Ответ: Условие \(a < b < c\) выполнится, если и только если выполняются оба следующих неравенства:
1. \(b > a\) и \(2a + b > c\)
2. \(b < a\) и \(2a + b < c\)

2.5 Чтобы найти все натуральные числа, для которых сумма в три раза меньше их произведения, давайте представим это в виде математического уравнения.

Пусть число \(x\) - это искомое натуральное число.

Исходя из условия, у нас есть сумма в три раза меньше произведения:

\[x + 3 = 3x\]

Теперь решим данное уравнение:

\[-2x = -3\]

\[x = \frac{3}{2}\]

Однако, по условию, мы ищем только натуральные числа. Число \(\frac{3}{2}\) не является натуральным числом, поэтому у данного уравнения нет решений в натуральных числах.

Ответ: Нет натуральных чисел, для которых сумма в три раза меньше их произведения.