Вариант 1 №1. Переместите множитель перед корнем в следующих выражениях: а) корень из 28; б) корень из 160; в) (3/5

Gosha_5780

15

Перед началом решения этих задач, давайте вспомним некоторые основные свойства корней.

1. Когда множитель находится перед корнем, мы можем переместить его под знак корня, записав его внутри корня. Например, \(\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7}\) можно записать как \(\sqrt{4} \cdot \sqrt{7}\).

2. При перемещении множителя под знак корня, мы также можем раскрыть корень, если число под ним представляется в виде произведения квадратов. Например, \(\sqrt{28}\) можно записать как \(\sqrt{4} \cdot \sqrt{7}\), а затем как \(2 \sqrt{7}\), так как \(\sqrt{4} = 2\).

3. Когда множитель находится после знака корня, его можно переместить под него путем умножения. Например, \(\sqrt{x} \cdot 3 = 3\sqrt{x}\).

Теперь перейдем к решению каждой задачи.

Вариант 1:
№1. Переместите множитель перед корнем в следующих выражениях:
а) \(\sqrt{28}\)
Давайте представим число 28 как произведение квадратов:
\(\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7}\)
Теперь мы можем переместить множитель под знак корня и упростить выражение:
\(\sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 2 \cdot \sqrt{7}\)
Ответ: \(2 \sqrt{7}\)

б) \(\sqrt{160}\)
Аналогично представим число 160 как произведение квадратов:
\(\sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10}\)
Переместим множитель под знак корня и упростим:
\(\sqrt{16} \cdot \sqrt{10} = 4 \cdot \sqrt{10}\)
Ответ: \(4 \sqrt{10}\)

в) \(\frac{3}{5} \cdot \sqrt{175}\)
Мы перемещаем множитель под знак корня:
\(\frac{3}{5} \cdot \sqrt{175} = \sqrt{175} \cdot \frac{3}{5}\)
Упрощаем выражение:
\(\sqrt{175} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5} \cdot \sqrt{175}\)
Ответ: \(\frac{3}{5} \sqrt{175}\)

г) \((-0,01) \cdot \sqrt{30000}\)
Аналогично перемещаем множитель под знак корня:
\((-0,01) \cdot \sqrt{30000} = \sqrt{30000} \cdot (-0,01)\)
Упрощаем выражение:
\(\sqrt{30000} \cdot (-0,01) = (-0,01) \cdot \sqrt{30000}\)
Ответ: \((-0,01) \sqrt{30000}\)

№2. Переместите множитель перед корнем в следующих выражениях:
а) \(\sqrt{5^2} \cdot 3\)
Мы раскрываем квадрат под корнем:
\(\sqrt{5^2} \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15\)
Ответ: 15

б) \(\sqrt{7^2} \cdot 3^3\)
Раскроем квадрат и куб:
\(\sqrt{7^2} \cdot 3^3 = 7 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 63 \cdot 9 = 567\)
Ответ: 567

№3. Поместите множитель под знак корня в следующих выражениях:
а) \(6 \cdot \sqrt{2}\)
Мы перемещаем множитель под знак корня и упрощаем:
\(6 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot 6\)
Ответ: \(6\sqrt{2}\)

б) \(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{8x}\)
Мы также перемещаем множитель под знак корня и упрощаем:
\(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{8x} = \sqrt{8x} \cdot \frac{1}{2}\)
Ответ: \(\frac{1}{2} \sqrt{8x}\)

в) \((-10) \cdot \sqrt{0,2p}\)
Аналогично перемещаем множитель под знак корня и упрощаем:
\((-10) \cdot \sqrt{0,2p} = \sqrt{0,2p} \cdot (-10)\)
Ответ: \((-10)\sqrt{0,2p}\)

№4. Докажите, что \(\sqrt{9 - 6 \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}\)
Давайте возведем в квадрат оба выражения и проверим их равенство.

\((\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\)
\((\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2\)
\((\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{6}\)

Теперь возведем в квадрат исходное выражение:
\((\sqrt{9 - 6 \sqrt{2}})^2 = 9 - 2 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} + 6 \cdot (\sqrt{2})^2\)
\((\sqrt{9 - 6 \sqrt{2}})^2 = 9 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{6} + 6 \cdot 2\)
\((\sqrt{9 - 6 \sqrt{2}})^2 = 9 - 6 \sqrt{6} + 12\)
\((\sqrt{9 - 6 \sqrt{2}})^2 = 21 - 6 \sqrt{6}\)

Мы видим, что \(\sqrt{9 - 6 \sqrt{2}}\) и \(\sqrt{3} - \sqrt{2}\) действительно равны, так как их квадраты равны.
Ответ: \(\sqrt{9 - 6 \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}\)

Я надеюсь, что эти пошаговые решения операций с корнями помогут вам лучше понять эту тему. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.