292. Найти значения a, при которых многочлен Р(х) делится на многочлен Q(x): 1) Р(х) = 6х2 + 7х +a, Q(x) = 2х

Artemovna

49

Хорошо, давайте решим каждую задачу по порядку.

1) Для того чтобы многочлен Р(х) делился на многочлен Q(x), необходимо и достаточно, чтобы остаток от деления Р(х) на Q(x) был равен нулю.

Распишем делимое и делитель:

Р(х) = 6х^2 + 7х + a
Q(x) = 2х + 3

Для нахождения остатка используем алгоритм деления многочленов. Делимое должно быть записано в убывающем порядке степеней переменной х.

3х + 1
___________
2х + 3 | 6х^2 + 7х + a

Осуществляем деление первого члена делимого на первый член делителя и записываем результат сверху. Домножаем делитель на полученный результат.

3х + 1
___________
2х + 3 | 6х^2 + 7х + a
-6х^2 - 9х
__________
-2х + a

Вычитаем полученное произведение из делимого:

3х + 1
___________
2х + 3 | 6х^2 + 7х + a
-6х^2 - 9х
__________
-2х + a
-2х - 3
__________
a + 3

Получаем остаток a + 3. Чтобы многочлен Р(х) делился на многочлен Q(x), остаток должен быть равен нулю, т.е.

a + 3 = 0

Решаем полученное уравнение:

a = -3

Таким образом, при a = -3 многочлен Р(х) делится на многочлен Q(x).

2) Аналогично решим вторую задачу.

Р(х) = x^6 + x^5 – 4x^4 – 4х^3 + ах^2 + 4х + a
Q(x) = x + 1

x^5 - 3
_______________
x + 1 | x^6 + x^5 – 4x^4 – 4х^3 + ах^2 + 4х + a

(x^6 + x^5)
___________
-2x^5 - 4x^4
-2x^5 - 2x^4
___________
-2x^4 - 4х^3 + ах^2
-2x^4 - 2x^3
___________
-2x^3 + ах^2 + 4х
-2x^3 - 2х^2
___________
ах^2 + 6х

Вычитаем полученное:

x^5 - 3
_______________
x + 1 | x^6 + x^5 – 4x^4 – 4х^3 + ах^2 + 4х + a
-2x^5 - 4x^4
-2x^5 - 2x^4
___________
-2x^4 - 4х^3 + ах^2
-2x^4 - 2x^3
___________
-2x^3 + ах^2 + 4х
-2x^3 - 2х^2
___________
ах^2 + 6х
ах^2 + ах
___________
5х + a

Получаем остаток 5х + a. Для того чтобы многочлен Р(х) делился на многочлен Q(x), остаток должен быть равен нулю:

5х + a = 0

Решаем уравнение:

a = -5х

Таким образом, при a = -5х многочлен Р(х) делится на многочлен Q(x).

3) Третью задачу решим по аналогии:

Р(х) = x^3 + ах^2 + ах — 15
Q(x) = x — 3

x^2 + 3x + 9
__________________________
x — 3 | x^3 + ах^2 + ах — 15

(x^3 - 3x^2)
_______________
3x^2 + ах
3x^2 - 9x
_______________
(а + 9)x - 15
(а + 9)x - 27
_______________
12

Получаем остаток 12. Остаток не равен нулю, поэтому многочлен Р(х) не делится на многочлен Q(x) ни при каких значениях a.

4) Наконец, решим четвертую задачу:

Р(х) = -4х^2 + ax + 5
Q(x) = 4х + 5

-x + a
__________________
4х + 5 | -4х^2 + ax + 5

(-4х^2 - 5x)
______________
ax + 10x
ax + 5
___________
5x + 5
5x + 25
___________
-20

Получаем остаток -20. Остаток не равен нулю, поэтому многочлен Р(х) не делится на многочлен Q(x) ни при каких значениях a.

В итоге, мы найдем значения a, при которых указанные многочлены делятся на Q(x), только для первой задачи, где a = -3. В остальных задачах многочлены не делятся на Q(x).