3. Цветы были собраны Асией: 9 ромашек и 12 незабудок. Какое количество цветов можно использовать для составления

Morskoy_Shtorm

65

Давайте решим задачу постепенно. В начале мы знаем, что у Аси есть 9 ромашек и 12 незабудок. Нам нужно определить, сколько цветов можно использовать для составления букета из 8 цветов.

а) Для того чтобы составить букет из 8 цветов, в котором должно быть 4 ромашки и 4 незабудки, мы можем взять 4 ромашки из 9 доступных и 4 незабудки из 12 доступных. Для этого используем комбинаторику. Количество возможных вариантов букета будет равно произведению количества сочетаний ромашек и незабудок.

Количество сочетаний из 9 по 4:
\[
C(9,4) = \frac{{9!}}{{4!(9-4)!}} = \frac{{9!}}{{4!5!}} = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 126
\]

Количество сочетаний из 12 по 4:
\[
C(12,4) = \frac{{12!}}{{4!(12-4)!}} = \frac{{12!}}{{4!8!}} = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 495
\]

Следовательно, количество различных букетов, которые можно составить из 4 ромашек и 4 незабудок, равно произведению количества сочетаний:
\[
126 \cdot 495 = 62370
\]

б) Теперь рассмотрим случай, когда в букете должно быть не менее 3 незабудок. Здесь мы можем использовать сочетания с повторениями.

Количество сочетаний ромашек и незабудок так же можно определить с помощью комбинаторики. Для этого нам нужно рассмотреть несколько случаев:

1) Если в букете есть 3 незабудки, то нам остается 5 других цветов, из которых мы можем выбрать еще 5.
Количество сочетаний из 9 ромашек и 3 незабудок:
\(C(9,3) = \frac{{9!}}{{3!(9-3)!}} = 84\)

Количество сочетаний из 5 оставшихся цветов:
\(C(5,5) = \frac{{5!}}{{5!(5-5)!}} = 1\)

Общее количество вариантов букета:
\(84 \cdot 1 = 84\)

2) Если в букете есть 4 незабудки, то нам остается 4 других цвета, из которых мы можем выбрать еще 4.
Количество сочетаний из 9 ромашек и 4 незабудок:
\(C(9,4) = 126\)

Количество сочетаний из 4 оставшихся цветов:
\(C(4,4) = 1\)

Общее количество вариантов букета:
\(126 \cdot 1 = 126\)

3) Если в букете есть 5 незабудок, то нам остается 3 других цвета, из которых мы можем выбрать еще 3.
Количество сочетаний из 9 ромашек и 5 незабудок:
\(C(9,5) = 126\)

Количество сочетаний из 3 оставшихся цветов:
\(C(3,3) = 1\)

Общее количество вариантов букета:
\(126 \cdot 1 = 126\)

Суммируя количество вариантов для каждого случая, получаем общее количество различных букетов, которые можно составить с использованием более 3 незабудок:
\(84 + 126 + 126 = 336\)

Таким образом, при условиях задачи можно составить 62370 букетов с 4 ромашками и 4 незабудками, а также 336 букетов, где содержится не менее 3 незабудок.