№3. Какая площадь имеет фигура, ограниченная параболой =(x-2)“, прямыми х=0 и х=3 и осью?

Золотой_Вихрь

22

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой \(y=(x-2)^2\), прямыми \(x=0\) и \(x=3\) и осью \(Ox\), мы можем использовать метод интегрирования. Давайте разобъем эту фигуру на две части - верхнюю и нижнюю - и найдем площадь каждой из них.

Сначала рассмотрим верхнюю часть фигуры, ограниченную параболой и прямыми. Чтобы найти верхнюю площадь, мы должны интегрировать функцию параболы на интервале от \(x=0\) до \(x=3\). Поскольку заданная парабола выпукла вверх, ее график будет всегда выше оси \(Ox\) на этом интервале. Таким образом, площадь этой части будет равна:

\[
\int_0^3 (x-2)^2 dx
\]

Раскроем квадрат внутри интеграла:

\[
\int_0^3 (x^2 - 4x + 4) dx
\]

Теперь проинтегрируем каждый член отдельно:

\[
\int_0^3 x^2 dx - \int_0^3 4x dx + \int_0^3 4 dx
\]

После интегрирования получим:

\[
\left. \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x \right|_0^3
\]

Подставим значения верхнего предела (3) и нижнего предела (0) в эту формулу и вычислим:

\[
\left( \frac{1}{3} \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3 \right) - \left( \frac{1}{3} \cdot 0^3 - 2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 \right)
\]

\[
= \left( 9 - 18 + 12 \right) - \left( 0 - 0 + 0 \right)
\]

\[
= 3
\]

Таким образом, верхняя площадь фигуры равна 3.

Теперь рассмотрим нижнюю часть фигуры, ограниченную прямыми и осью \(Ox\). Эта часть фигуры представляет собой прямоугольник со сторонами, равными длинам прямых \(x=0\) и \(x=3\). Площадь этой части равна:

\[
\text{Площадь прямоугольника} = \text{Длина} \times \text{Ширина} = 3 \times 0 = 0
\]

Таким образом, нижняя площадь фигуры равна 0.

Итак, площадь всей фигуры, ограниченной параболой \(y=(x-2)^2\), прямыми \(x=0\) и \(x=3\) и осью \(Ox\), равна сумме верхней и нижней площадей:

\[
\text{Площадь фигуры} = \text{Верхняя площадь} + \text{Нижняя площадь} = 3 + 0 = 3
\]

Таким образом, площадь этой фигуры равна 3.