Какова сумма (в градусах) двух наибольших корней уравнения 2sin x∙cos x+√3 sin x+2cos x+√3=0, если они лежат

Petrovna

9

Для начала, давайте рассмотрим данное уравнение и найдем его корни. Уравнение выглядит следующим образом:

\[2\sin x \cdot \cos x + \sqrt{3} \sin x + 2\cos x + \sqrt{3} = 0\]

Для удобства решения, обозначим \(\sin x\) как \(a\), а \(\cos x\) как \(b\). Теперь уравнение примет другой вид:

\[2ab + \sqrt{3}a + 2b + \sqrt{3} = 0\]

Сгруппируем похожие члены:

\[(2ab + \sqrt{3}a) + (2b + \sqrt{3}) = 0\]

Вынесем общий множитель:

\(a(2b + \sqrt{3}) + (2b + \sqrt{3}) = 0\)

Теперь вынесем скобки:

\((2b + \sqrt{3})(a + 1) = 0\)

Таким образом, у нас есть два возможных случая для того, чтобы уравнение равнялось нулю:

1) \(2b + \sqrt{3} = 0\)
2) \(a + 1 = 0\)

Рассмотрим первый случай:

\(2b + \sqrt{3} = 0\)

Выразим \(b\) через \(\sqrt{3}\):

\(2b = -\sqrt{3}\)

\(b = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Теперь рассмотрим второй случай:

\(a + 1 = 0\)

\(a = -1\)

Таким образом, у нас есть два корня: \(b = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(a = -1\).

Теперь найдем значения \(\sin x\) и \(\cos x\) для этих корней:

Для \(b = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), используем одну из тригонометрических формул:

\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)

Подставим \(b\) вместо \(\cos x\):

\(\sin^2 x + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1\)

\(\sin^2 x + \frac{3}{4} = 1\)

\(\sin^2 x = \frac{1}{4}\)

\(\sin x = \pm \frac{1}{2}\)

Таким образом, мы получаем два значения для \(\sin x\): \(\frac{1}{2}\) и \(-\frac{1}{2}\).

Для \(a = -1\), используем другую тригонометрическую формулу:

\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)

Подставим \(a\) вместо \(\sin x\):

\((-1)^2 + \cos^2 x = 1\)

\(1 + \cos^2 x = 1\)

\(\cos^2 x = 0\)

\(\cos x = 0\)

Таким образом, мы получаем единственное значение \(\cos x = 0\).

Таким образом, два наибольших корня уравнения \(2\sin x \cdot \cos x + \sqrt{3} \sin x + 2\cos x + \sqrt{3} = 0\) равны:

1) \(\sin x = \frac{1}{2}\), \(\cos x = 0\)
2) \(\sin x = -\frac{1}{2}\), \(\cos x = 0\)

Теперь осталось найти сумму этих двух углов. Для этого вспомним, что сумма двух чисел может быть найдена при помощи формулы:

\(\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\)

1) Для первого случая (\(\sin x = \frac{1}{2}\), \(\cos x = 0\)):

\(\sin (x_1 + x_2) = \sin x_1 \cos x_2 + \cos x_1 \sin x_2\)

\(\sin (x_1 + x_2) = \frac{1}{2} \cdot 0 + 0 \cdot \frac{1}{2}\)

\(\sin (x_1 + x_2) = 0\)

2) Для второго случая (\(\sin x = -\frac{1}{2}\), \(\cos x = 0\)):

\(\sin (x_3 + x_4) = \sin x_3 \cos x_4 + \cos x_3 \sin x_4\)

\(\sin (x_3 + x_4) = -\frac{1}{2} \cdot 0 + 0 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\)

\(\sin (x_3 + x_4) = 0\)

Таким образом, сумма двух наибольших корней уравнения равна \(0\) градусов.