3. Какова вероятность, что из следующих 7 лет будет: а) 5 лет, когда будет хороший урожай; б) не менее 5 лет, когда

Магнит

52

3. Для решения задачи об использовании правила умножения вероятностей. Перед нами ставится вопрос о вероятности того, что из 7 лет пять будут с хорошим урожаем.

а) Вероятность, что определенный год будет с хорошим урожаем, составляет 0,6. Вероятность того, что год будет с плохим урожаем, составляет 0,4. Чтобы узнать вероятность того, что из 7 лет ровно 5 будут с хорошим урожаем, мы должны перемножить вероятность хорошего урожая (0,6) пять раз и вероятность плохого урожая (0,4) два раза (потому что остается два года, где урожай может быть плохим):

\[
P(5 \text{ годов с хорошим урожаем}) = 0,6^5 \times 0,4^2
\]

После вычислений мы получаем окончательный результат:

\[
P(5 \text{ годов с хорошим урожаем}) \approx 0,07776
\]

Таким образом, вероятность того, что из следующих 7 лет пять будут с хорошим урожаем, примерно равна 0,07776 или около 7,8%.

б) Теперь посмотрим на вероятность того, что из 7 лет будет не менее 5 лет с хорошим урожаем. Мы можем рассмотреть два случая: 5, 6 или 7 лет с хорошим урожаем.

Вероятность 5 лет с хорошим урожаем мы уже рассчитали в предыдущем пункте и она составляет 0,07776.

Теперь рассмотрим случай, когда у нас будет 6 лет с хорошим урожаем. Вероятность такого события можно рассчитать аналогично предыдущему пункту, только теперь мы перемножим вероятность хорошего урожая (0,6) шесть раз и вероятность плохого урожая (0,4) один раз:

\[
P(6 \text{ лет с хорошим урожаем}) = 0,6^6 \times 0,4
\]

После вычислений мы получаем:

\[
P(6 \text{ лет с хорошим урожаем}) \approx 0,04666
\]

Теперь рассмотрим случай, когда у нас будет 7 лет с хорошим урожаем. Вероятность такого события можно рассчитать аналогично предыдущим случаям, только теперь мы перемножим вероятность хорошего урожая (0,6) семь раз:

\[
P(7 \text{ лет с хорошим урожаем}) = 0,6^7
\]

После вычислений мы получаем:

\[
P(7 \text{ лет с хорошим урожаем}) \approx 0,02799
\]

Теперь, чтобы найти общую вероятность не менее 5 лет с хорошим урожаем, мы должны сложить вероятности всех трех случаев:

\[
P(\text{не менее 5 лет с хорошим урожаем}) = P(5 \text{ лет с хорошим урожаем}) + P(6 \text{ лет с хорошим урожаем}) + P(7 \text{ лет с хорошим урожаем})
\]

\[
P(\text{не менее 5 лет с хорошим урожаем}) \approx 0,07776 + 0,04666 + 0,02799 \approx 0,15241
\]

Таким образом, вероятность того, что из следующих 7 лет будет не менее 5 лет с хорошим урожаем, примерно равна 0,15241 или около 15,2%.

6. Для решения этой задачи мы также воспользуемся правилом умножения вероятностей. Перед нами ставится вопрос о вероятности того, что на автобазе будет не менее восьми машин, если на ней работает десять.

Вероятность того, что одна машина будет на линии, равна числу машин, требуемых на линии, деленному на общее число машин:

\[
P(\text{машина на линии}) = \frac{8}{10} = 0,8
\]

Если на линии нужно иметь не менее восьми машин, вероятность того, что ровно восемь машин будут на линии, равна:

\[
P(\text{ровно 8 машин на линии}) = 0,8^8 \times 0,2^2
\]

После вычислений мы получаем:

\[
P(\text{ровно 8 машин на линии}) \approx 0,16777
\]

Теперь рассмотрим случай, когда на линии будет девять машин:

\[
P(\text{ровно 9 машин на линии}) = 0,8^9 \times 0,2
\]

После вычислений мы получаем:

\[
P(\text{ровно 9 машин на линии}) \approx 0,26844
\]

Наконец, рассмотрим случай, когда на линии будут все десять машин:

\[
P(\text{ровно 10 машин на линии}) = 0,8^{10}
\]

После вычислений мы получаем:

\[
P(\text{ровно 10 машин на линии}) \approx 0,10737
\]

Теперь, чтобы найти общую вероятность того, что на автобазе будет не менее восьми машин, мы должны сложить вероятности всех трех случаев:

\[
P(\text{автобаза работает нормально}) = P(\text{ровно 8 машин на линии}) + P(\text{ровно 9 машин на линии}) + P(\text{ровно 10 машин на линии})
\]

\[
P(\text{автобаза работает нормально}) \approx 0,16777 + 0,26844 + 0,10737 \approx 0,54358
\]

Таким образом, вероятность того, что автобаза будет работать нормально в ближайший день, если требуется иметь на линии не менее восьми машин, примерно равна 0,54358 или около 54,4%.

9. Для решения этой задачи мы можем воспользоваться биномиальным распределением, так как у нас есть два возможных исхода — выплата первого платежа вовремя и его задержка.

Используя формулу биномиального распределения, мы можем рассчитать:

\[
P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
\]

Где:
- \(P(X = k)\) - вероятность того, что точно \(k\) из \(n\) испытаний успешны,
- \(n\) - общее количество испытаний,
- \(k\) - количество успешных испытаний,
- \(p\) - вероятность успеха в одном испытании.

В нашем случае, вероятность выплаты первого платежа вовремя \(p = 0.85\), количество граждан, взявших потребительский кредит \(n = 500\), и мы хотим найти вероятность, что ровно 500 граждан выплатят первый платеж вовремя.

Тогда вероятность выплаты первого платежа вовремя для каждого отдельного гражданина составляет:

\[
P(\text{успех}) = 0.85
\]

а вероятность задержки или невыплаты первого платежа составляет:

\[
P(\text{неуспех}) = 1 - P(\text{успех}) = 1 - 0.85 = 0.15
\]

Теперь мы можем рассчитать вероятность того, что все 500 граждан выплатят первый платеж вовремя:

\[
P(X = 500) = \binom{500}{500} \cdot 0.85^{500} \cdot 0.15^{0} = 0.85^{500} \approx 7.6 \times 10^{-12}
\]

Таким образом, вероятность того, что в течение месяца 500 граждан, взявших потребительский кредит, выполнят первый платеж вовремя, очень мала - около \(7.6 \times 10^{-12}\) или около \(0.0000000000076\).