3. Определите значения переменной x, при которых неравенства выполняются на основе эскиза графика квадратичной функции

Мандарин

36

Конечно, я помогу вам решить задачу. Для начала, мы можем использовать график квадратичной функции для определения значений переменной x, при которых неравенства выполняются.

а) Неравенство \(3x^2 + 2x - 1 > 0\) задает квадратичную функцию. Чтобы решить эту задачу, начнем с того, чтобы найти вершины у этой функции. Формула для координат вершины имеет вид \(x = -\frac{b}{2a}\), где a, b и c - коэффициенты квадратичной функции \(ax^2 + bx + c\). В нашем случае a = 3, b = 2. Подставим эти значения в формулу и найдем x-координату вершины:

\[x = -\frac{2}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}\]

Теперь, с помощью x-координаты вершины, мы можем понять, какие значения x удовлетворяют неравенству. График квадратичной функции \(3x^2 + 2x - 1\) направлен вверх, так как коэффициент при x^2 положительный. Из этого следует, что неравенство \(3x^2 + 2x - 1 > 0\) будет выполняться для значений x, которые расположены вне интервала между корнями этой функции. Чтобы найти корни функции, мы можем решить уравнение \(3x^2 + 2x - 1 = 0\). Можем использовать квадратное уравнение или его факторизацию. Я воспользуюсь формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot -1 = 4 + 12 = 16\]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 4}{6}\]

\[x_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \, \, \, x_2 = \frac{-6}{6} = -1\]

Итак, у нас есть корни x1 = 1/3 и x2 = -1. График квадратичной функции пересекает ось x в этих точках. Поэтому неравенство \(3x^2 + 2x - 1 > 0\) выполняется для значений x, которые лежат за пределами этого интервала, то есть x < -1 или x > 1/3.

б) Для неравенства \(x^2 - 4 < 0\) мы можем использовать аналогичный подход. Коэффициент при \(x^2\) равен 1, а коэффициент b равен 0. Найдем x-координату вершины:

\[x = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0\]

График \(x^2 - 4\) направлен вверх, поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный. Неравенство \(x^2 - 4 < 0\) будет выполняться для значений x, которые находятся между корнями функции. Решим уравнение \(x^2 - 4 = 0\) для нахождения корней:

\[x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) = 0\]

Отсюда следует, что корни функции x^2 - 4 равны x1 = -2 и x2 = 2. График функции пересекает ось x в этих точках. Поэтому неравенство \(x^2 - 4 < 0\) будет выполняться для значений x в интервале -2 < x < 2.

в) Неравенство \(x^2 + 4 > 0\) задает квадратичную функцию. Опять же, коэффициент при \(x^2\) равен 1, а коэффициент b равен 0. Найдем x-координату вершины:

\[x = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0\]

График \(x^2 + 4\) направлен вверх, и его вершина находится выше оси x. Это означает, что неравенство \(x^2 + 4 > 0\) выполняется для всех значений x, и тут уже не нужно искать корни или интервалы.

Таким образом, решение задачи:
а) Неравенство \(3x^2 + 2x - 1 > 0\) выполняется для x < -1 или x > 1/3.
б) Неравенство \(x^2 - 4 < 0\) выполняется для -2 < x < 2.
в) Неравенство \(x^2 + 4 > 0\) выполняется для всех значений x.