3. В треугольнике с прямым углом гипотенуза имеет длину c = 10 cm, а острый угол равен с = 42 . Определите длины

Морской_Пляж_4266

54

Хорошо, решим задачу. У нас есть прямоугольный треугольник, где гипотенуза равна 10 см, а острый угол равен 42°. Нам нужно найти длины катетов \(a\) и \(b\), а также острый угол \(v\). Начнем с рассмотрения первого варианта решения.

Вариант 1:

Для нахождения катетов и острого угла воспользуемся тригонометрическими соотношениями.

Косинус острого угла \(v\) определяется как отношение прилежащего катета \(a\) к гипотенузе \(c\). То есть, \(\cos(v) = \frac{a}{c}\).

Так как гипотенуза \(c\) равна 10 см, подставим известные значения в уравнение: \(\cos(v) = \frac{a}{10}\).

Чтобы найти катет \(a\), умножим обе части уравнения на 10: \(a = 10 \cdot \cos(v)\).

Теперь рассмотрим синус острого угла \(v\). Он определяется как отношение противоположного катета \(b\) к гипотенузе \(c\). То есть, \(\sin(v) = \frac{b}{c}\).

Подставим известные значения в уравнение: \(\sin(v) = \frac{b}{10}\).

Чтобы найти катет \(b\), умножим обе части уравнения на 10: \(b = 10 \cdot \sin(v)\).

Таким образом, у нас есть два уравнения для нахождения катетов \(a\) и \(b\):
\[a = 10 \cdot \cos(v)\]
\[b = 10 \cdot \sin(v)\]

Для определения значения острого угла \(v\) воспользуемся тангенсом, который равен отношению противоположного катета \(b\) к прилежащему катету \(a\). То есть, \(\tan(v) = \frac{b}{a}\).

Однако, мы уже имеем уравнения для \(a\) и \(b\), поэтому мы можем записать тангенс в виде: \(\tan(v) = \frac{10 \cdot \sin(v)}{10 \cdot \cos(v)}\).

Упростим это уравнение: \(\tan(v) = \frac{\sin(v)}{\cos(v)}\).

Теперь мы можем найти острый угол \(v\) с помощью обратной функции тангенса. Получим уравнение: \(v = \arctan\left(\frac{\sin(v)}{\cos(v)}\right)\).

Таким образом, у нас есть три уравнения для нахождения катетов \(a\) и \(b\), а также острого угла \(v\):
\[a = 10 \cdot \cos(v)\]
\[b = 10 \cdot \sin(v)\]
\[v = \arctan\left(\frac{\sin(v)}{\cos(v)}\)\]

Это первый вариант решения задачи. Теперь перейдем ко второму варианту решения.

Вариант 2:

Для второго варианта решения воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. То есть, \(a^2 + b^2 = c^2\).

Подставим известные значения в уравнение: \(a^2 + b^2 = 10^2\).

Теперь мы имеем одно уравнение с двумя неизвестными. Однако, мы также знаем, что острый угол равен 42°.

Если мы предположим, что \(a\) является противоположным катетом, а \(b\) - прилежащим катетом, тогда мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения значений \(a\) и \(b\).

Воспользуемся синусом острого угла \(v\), который равен отношению противоположного катета \(a\) к гипотенузе \(c\). То есть, \(\sin(v) = \frac{a}{c}\).

Подставим известные значения в уравнение: \(\sin(42°) = \frac{a}{10}\).

Умножим обе части уравнения на 10: \(10 \cdot \sin(42°) = a\).

Теперь рассмотрим косинус острого угла \(v\), который равен отношению прилежащего катета \(b\) к гипотенузе \(c\). То есть, \(\cos(v) = \frac{b}{c}\).

Подставим известные значения в уравнение: \(\cos(42°) = \frac{b}{10}\).

Умножим обе части уравнения на 10: \(10 \cdot \cos(42°) = b\).

Поэтому, наше второе решение выглядит следующим образом:
\[a = 10 \cdot \sin(42°)\]
\[b = 10 \cdot \cos(42°)\]
\[a^2 + b^2 = 10^2\]

Это второй вариант решения задачи.

Надеюсь, что объяснение было понятным и полезным для школьника. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.