30 , ((Во время облета планеты астронавты заметили, что ускорение свободного падения на высоте над ее поверхностью

Ivanovich

20

Для решения данной задачи нам потребуется использовать законы гравитационного притяжения и формулу вычисления ускорения свободного падения.

Первым шагом, воспользуемся формулой для вычисления ускорения свободного падения:

\[ g = \frac{GM}{r^2} \]

где:
g - ускорение свободного падения
G - гравитационная постоянная (приближенное значение: \(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}\))
M - масса планеты
r - расстояние от центра планеты до точки, где измерено ускорение свободного падения

Вторым шагом, воспользуемся формулой для вычисления массы планеты:

\[ M = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho \]

где:
M - масса планеты
r - радиус планеты (половина диаметра)
\rho - плотность планеты (в данной задаче неизвестна)

Третьим шагом, воспользуемся данными из условия задачи для нахождения значения ускорения свободного падения g:

g = 6,0 м/с²

Четвертым шагом, преобразуем формулы для нахождения массы планеты и ускорения свободного падения:

\[ g = \frac{GM}{r^2} \Rightarrow M = \frac{gr^2}{G} \]
\[ M = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho \Rightarrow r = \left( \frac{3M}{4\pi\rho} \right)^\frac{1}{3} \]

Подставив значение ускорения свободного падения g в первое уравнение и значение радиуса r во второе уравнение, получим:

\[ M = \frac{g \left( \frac{3M}{4\pi\rho} \right)^2}{G} \]

Решим это уравнение относительно M:

\[ M = \frac{g \left( \frac{3M}{4\pi\rho} \right)^2}{G} \Rightarrow M = \frac{g \left( \frac{3M}{4\pi\rho} \right)^2}{G} \Rightarrow \frac{4\pi\rho}{g} = 3M \left( \frac{3M}{4\pi\rho} \right)^2 \Rightarrow \frac{4\pi\rho}{g} = 3M^3 \Rightarrow M = \left( \frac{4\pi\rho}{3g} \right)^\frac{1}{3} \]

Теперь подставим известные значения в формулу:

\[ M = \left( \frac{4\pi\rho}{3g} \right)^\frac{1}{3} = \left( \frac{4\pi \cdot 4,0 \cdot 10^3 \cdot 0,3 \cdot 10^{24}}{3 \cdot 6,0} \right)^\frac{1}{3} \]

Вычислим числитель:

\[ 4\pi \cdot 4,0 \cdot 10^3 \cdot 0,3 \cdot 10^{24} = 1,2 \cdot 10^{29} \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \text{с}^{-2} \]

Вычислим знаменатель:

\[ 3 \cdot 6,0 = 18,0 \, \text{м/с}^2 \]

Теперь вычислим значение M:

\[ M = \left( \frac{1,2 \cdot 10^{29}}{18,0} \right)^\frac{1}{3} \]

Найдя значение M, сможем вычислить значение радиуса r:

\[ r = \left( \frac{3M}{4\pi\rho} \right)^\frac{1}{3} \]

А затем, зная радиус r, вычислим значение высоты h от поверхности планеты:

\[ h = r - R \]

где R - радиус планеты (половина диаметра).

Итак, для данной задачи получаем:

1. Найдем значение M (масса планеты):
\[ M = \left( \frac{1,2 \cdot 10^{29}}{18,0} \right)^\frac{1}{3} \]

2. Найдем значение радиуса r:
\[ r = \left( \frac{3M}{4\pi\rho} \right)^\frac{1}{3} \]

3. Найдем значение высоты h от поверхности планеты:
\[ h = r - R \]

Далее, остается только выполнить расчеты и получить итоговый ответ.