33.2. Какие значения могут являться целыми корнями следующих многочленов: 1) 2x3 — 2х2 – 5х + 6; 2) 2х3 – 5х2 + 7х

Котэ

36

Для нахождения целых корней многочлена, мы можем использовать теорему о делении с остатком, также известную как теорему Безу.

Теорема Безу гласит, что если многочлен делится на \(x - a\), то остаток от деления равен нулю, и значит, \(a\) является корнем многочлена.

1) Для многочлена \(2x^3 - 2x^2 - 5x + 6\), чтобы найти возможные значения целых корней, мы будем делить его на все возможные целые числа и проверять остаток.

Проверим, делится ли многочлен на 1: \((2(1)^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0\).
Получается, что 1 является корнем этого многочлена.

Теперь мы можем разделить исходный многочлен на \(x - 1\) с помощью деления с остатком или с помощью синтетического деления.

Синтетическое деление:

   1 | 2 -2 -5 6

      -   2  0 -5

   -------------

      2  0 -5  1

Итак, многочлен можно записать как \(2x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(2x^2 + 1)\), где \(2x^2 + 1\) - остаток.

Таким образом, многочлен имеет только один целый корень: 1.

2) Для многочлена \(2x^3 - 5x^2 + 7x + 4\) мы можем провести аналогичные шаги.

Проверим, делится ли многочлен на 1: \((2(1)^3 - 5(1)^2 + 7(1) + 4) = 2 - 5 + 7 + 4 = 8\).
Многочлен не делится на 1, поэтому 1 не является корнем.

Проверим, делится ли многочлен на 2: \((2(2)^3 - 5(2)^2 + 7(2) + 4) = 16 - 20 + 14 + 4 = 14\).
Многочлен не делится на 2, поэтому 2 не является корнем.

3) Для многочлена \(2x^3 + 3x^2 - 7x - 10\) мы также можем провести подобные проверки.

Проверим, делится ли многочлен на 1: \((2(1)^3 + 3(1)^2 - 7(1) - 10) = 2 + 3 - 7 - 10 = -12\).
Многочлен не делится на 1, поэтому 1 не является корнем.

Проверим, делится ли многочлен на 2: \((2(2)^3 + 3(2)^2 - 7(2) - 10) = 32 + 12 - 14 - 10 = 20\).
Многочлен не делится на 2, поэтому 2 не является корнем.

4) Для многочлена \(x^3 - 3x^2\) мы можем провести аналогичные проверки.

Проверим, делится ли многочлен на 1: \((1^3 - 3(1)^2) = 1 - 3 = -2\).
Многочлен не делится на 1, поэтому 1 не является корнем.

Проверим, делится ли многочлен на 2: \((2^3 - 3(2)^2) = 8 - 12 = -4\).
Многочлен не делится на 2, поэтому 2 не является корнем.

Таким образом, мы получаем следующие значения целых корней для данных многочленов:
1) Для \(2x^3 - 2x^2 - 5x + 6\) - корень 1;
2) Для \(2x^3 - 5x^2 + 7x + 4\) - нет целых корней;
3) Для \(2x^3 + 3x^2 - 7x - 10\) - нет целых корней;
4) Для \(x^3 - 3x^2\) - нет целых корней.