Ть термі! 1. Перебудуйте питання: Які є проміжки зростання та спадання функції y = x²-2x+3? 2. Перебудуйте питання

Солнце

41

1. Яке буде стороннє медлено зростаюче, стороннє стрімко зростаюче, а стороннє медлено спадаюче, стороннє стрімко спадаюче розумне зростання функції y = x²-2x+3?

Для розв"язання цієї задачі, спочатку знайдемо коефіцієнти многочлена y = x²-2x+3 - це квадратична функція. Нам потрібно знайти вершину цієї параболи, оскільки це буде точка екстремуму функції. Щоб знайти вершину параболи, ми використовуємо формулу вершини -x координата вершини ділиться на 2a, де a - це коефіцієнт перед x². Таким чином, ми отримуємо x = -(-2) / (2 * 1) = 1. Тепер, щоб знайти y-координату вершини, підставимо значення x = 1 у вихідну функцію. Отримуємо y = 1² - 2 * 1 + 3 = 2. Таким чином, вершина параболи має координати (1, 2).

Власно зростаючі проміжки: усі значення x, для яких функція зростає. Враховуючи те, що парабола має вершину при (1, 2), ми бачимо, що збільшення x над вершиною призводить до зменшення значення функції y, оскільки парабола далі спускається на графіку. Тому, усі значення x менше 1 належать розміреним зростаючим проміжкам.

Власно спадаючі проміжки: усі значення x, для яких функція спадає. На жаль, в нашому випадку парабола не має таких значень x, оскільки після вершини, вона буде лише зростати. Таким чином, у нашій функції немає спадаючих проміжків.

Таким чином, проміжки зростання функції y = x²-2x+3 є \((- \infty, 1)\), а проміжків спадання немає.

2. Якою є кількість та положення екстремумів у функції y = 2x³-3x²?

Для знаходження екстремумів цієї функції, спочатку знаходимо похідну функції y = 2x³-3x². Застосовуючи правило диференціювання степеневої функції та правило диференціювання різниці, ми отримуємо похідну y" = 6x² - 6x.

Рівняння для знаходження екстремумів цієї функції - це рівняння y" = 0. Підставимо похідну у рівняння та вирішимо його:

\(6x^2 - 6x = 0\)

Факторизуємо загальний множник:

\(6x(x - 1) = 0\)

Отримуємо два корені рівняння: x = 0 та x = 1.

Для виявлення положення екстремуму, ми можемо провести дослідження знаків другої похідної. Підставляючи значення x = 0 у другу похідну, отримуємо:

\(y""(0) = 12(x-1) = 12(0-1) = -12\)

Підставляючи значення x = 1 у другу похідну, отримаємо:

\(y""(1) = 12(x-1) = 12(1-1) = 0\)

Таким чином, ми бачимо, що при x = 0 друга похідна негативна, отже, це точка локального максимуму, а при x = 1 друга похідна дорівнює нулю, отже, це точка перегину. Таким чином, у функції y = 2x³-3x² є один локальний максимум у точці (0, 0) та один перегин у точці (1, -1).

3. Як провести дослідження функції y = 3x - x³ та побудувати її графік?

Для дослідження функції y = 3x - x³, ми можемо виконати наступні кроки:

1) Знайдемо першу похідну функції, щоб визначити точки, у яких функція має екстремуми та перегини.
Похідна функції y = 3x - x³ буде y" = 3 - 3x².

2) Знайдемо моменти, коли похідна дорівнює нулю, тобто розв"яжемо рівняння y" = 0:
3 - 3x² = 0
Загальний множник факторизації:
3(1 - x)(1 + x) = 0
Розв"язки:
x = -1, x = 1

3) Знайдемо значення похідної в окремій точці, щоб визначити знак похідної на проміжках між екстремумами та перегинами.
a) При x < -1: підставивши значення x = -2 в похідну, отримаємо:
y"(-2) = 3 - 3(-2)² = 3 - 12 = -9
Отже, похідна від"ємна на цьому проміжку.
b) При -1 < x < 1: підставивши значення x = 0 в похідну, отримаємо:
y"(0) = 3 - 3(0)² = 3
Отже, похідна позитивна на цьому проміжку.
c) При x > 1: підставивши значення x = 2 в похідну, отримаємо:
y"(2) = 3 - 3(2)² = 3 - 12 = -9
Отже, похідна від"ємна на цьому проміжку.

4) Знайдемо значення функції в окремій точці, щоб визначити значення функції на проміжках між екстремумами та перегинами.
a) При x < -1: підставимо значення x = -2 в функцію:
y(-2) = 3(-2) - (-2)³ = -6 + 8 = 2
Отже, функція має значення 2 на цьому проміжку.
b) При -1 < x < 1: підставимо значення x = 0 в функцію:
y(0) = 3(0) - (0)³ = 0
Отже, функція має значення 0 на цьому проміжку.
c) При x > 1: підставимо значення x = 2 в функцію:
y(2) = 3(2) - (2)³ = 6 - 8 = -2
Отже, функція має значення -2 на цьому проміжку.

5) Знайдемо значення y у точках, де функція має екстремуми та перегини.
a) У точці x = -1: підставимо значення x = -1 у функцію:
y(-1) = 3(-1) - (-1)³ = -3 + 1 = -2
Отже, функція має значення -2 у точці x = -1.
b) У точці x = 1: підставимо значення x = 1 у функцію:
y(1) = 3(1) - (1)³ = 3 - 1 = 2
Отже, функція має значення 2 у точці x = 1.

6) Побудуємо графік функції y = 3x - x³, використовуючи всю зібрану інформацію.
З точками екстремумів та перегинів, знайденими раніше, ми можемо наочно побудувати графік функції. З"єднайте ці точки гладкою кривою, враховуючи знак похідної та значення функції на проміжках.

4. Як знайти найбільше та найменше значення функції y = - 9/x - x на відрізку?

Щоб знайти найбільше і найменше значення функції y = - 9/x - x на відрізку, ми можемо виконати наступні кроки:

1) Встановимо відрізок, на якому ми шукаємо найбільше та найменше значення функції. Нехай наш відрізок буде від a до b.

2) Знайдемо значення функції на краях відрізка:

Підставимо значення x = a у функцію:
y(a) = -9/a - a

Підставимо значення x = b у функцію:
y(b) = -9/b - b

3) Знайдемо значення функції у критичних точках:

Знайдемо похідну функції y"(x):
y"(x) = 9/x² - 1

Розв"яжемо рівняння y"(x) = 0:
9/x² - 1 = 0
9 = x²
x = ±√9
x = ±3

Підставимо значення x = 3 у функцію:
y(3) = -9/3 - 3 = -3 - 3 = -6

Підставимо значення x = -3 у функцію:
y(-3) = -9/-3 - (-3) = 3 - 3 = 0

4) Порівняємо отримані значення, щоб знайти найбільше та найменше значення функції:

Порівняємо значення на краях відрізка зі значеннями у критичних точках:

Якщо y(a) > y(b) і y(a) > y(3) і y(a) > y(-3), то y(a) є найбільшим значенням.
Якщо y(b) > y(a) і y(b) > y(3) і y(b) > y(-3), то y(b) є найбільшим значенням.

Якщо y(a) < y(b) і y(a) < y(3) і y(a) < y(-3), то y(a) є найменшим значенням.
Якщо y(b) < y(a) і y(b) < y(3) і y(b) < y(-3), то y(b) є найменшим значенням.

Вра