Необходимо доказать, что общая касательная окружностей, которая проходит через точку А, перпендикулярна отрезку О1О2

Raduga_Na_Nebe_5653

27

Для доказательства перпендикулярности общей касательной окружностей, проходящей через точку А, к отрезку О1О2, мы воспользуемся следующими свойствами:

1. Если отрезок, соединяющий центры двух окружностей, перпендикулярен к их общей касательной, то эта общая касательная также будет перпендикулярной к отрезку, соединяющему центры окружностей.

2. Любая прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная к её радиусу, будет являться касательной к окружности.

Теперь перейдем к доказательству.

Дано:

1. Окружность O1, с центром в точке О1.
2. Окружность O2, с центром в точке О2.
3. Общая касательная окружностей, проходящая через точку А.

Требуется: Доказать, что общая касательная, проходящая через точку А, перпендикулярна отрезку О1О2.

Доказательство:

1. Проведем прямую, соединяющую центры окружностей O1 и O2. Обозначим её как прямую С1С2.
2. Так как точка А лежит на общей касательной, то она также лежит на прямой С1С2. То есть, А лежит на прямой, соединяющей центры окружностей.
3. Отметим точки В и С на окружностях O1 и O2 соответственно, так, чтобы отрезки О1В и О2С проходили через точку А.
4. Из свойства 2 можно сделать вывод, что отрезки O1В и O2С являются радиусами соответствующих окружностей. Поэтому эти отрезки перпендикулярны соответствующим касательным.
5. Заметим, что у нас образуется прямоугольный треугольник АВС, так как отрезки O1В и O2С перпендикулярны к общей касательной в точке А, и точка А лежит на прямой С1С2.
6. Из свойства 1 следует, что если отрезок O1О2 перпендикулярен отрезку O1В, а отрезок O1В перпендикулярен общей касательной в точке А, то отрезок O1О2 также будет перпендикулярным общей касательной в точке А.
7. Следовательно, общая касательная окружностей, проходящая через точку А, перпендикулярна отрезку О1О2.

Таким образом, мы доказали, что общая касательная окружностей, проходящая через точку А, перпендикулярна отрезку О1О2.