4. На сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если уменьшить радиус его основания в 19 раз?

Kseniya

25

Хорошо, давайте решим эти задачи по очереди.

4. Нам нужно найти, на сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если мы уменьшим радиус его основания в 19 раз. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: \(S = \pi \cdot r \cdot l\), где \(r\) - радиус основания, \(l\) - длина образующей.

Первоначально, пусть \(r_1\) будет радиусом конуса, и \(S_1\) будет его площадью боковой поверхности. Когда мы уменьшим радиус в 19 раз, новый радиус будет равен \(r_2 = \frac{r_1}{19}\).

Подставим эти значения в формулу площади боковой поверхности: \(S_2 = \pi \cdot r_2 \cdot l\).

Теперь найдем отношение площадей: \(\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi \cdot \frac{r_1}{19} \cdot l}{\pi \cdot r_1 \cdot l}\).

Упростим это выражение: \(\frac{S_2}{S_1} = \frac{1}{19}\).

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса уменьшится в 19 раз.

5. Мы знаем высоту конуса, \(h = 5\), и диаметр основания, \(d = 24\). Нас интересует образующая конуса, которую мы обозначим как \(l\).

Сначала найдем радиус основания конуса по формуле: \(r = \frac{d}{2}\).

Затем, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, состоящего из радиуса, образующей и высоты, получим: \(l^2 = r^2 + h^2\).

Подставим значения: \(l^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + h^2\).

Выполняем вычисления: \(l^2 = \left(\frac{24}{2}\right)^2 + 5^2\).

Упростим: \(l^2 = 12^2 + 25\).

Вычисляем: \(l^2 = 144 + 25\).

Окончательно, получаем: \(l^2 = 169\).

Возведя обе части уравнения в квадрат, мы найдем: \(l = \sqrt{169} = 13\).

Таким образом, образующая конуса равна 13.

6. Даны высота конуса \(h = 57\) и длина образующей \(l = 95\). Мы хотим найти диаметр основания конуса, который мы обозначим как \(d\).

Сначала найдем радиус основания конуса, используя теорему Пифагора: \(l^2 = r^2 + h^2\).

Подставим значения: \(95^2 = r^2 + 57^2\).

Выполняем вычисления: \(9025 = r^2 + 3249\).

Перенесем в правую часть: \(r^2 = 9025 - 3249\).

Продолжим по шагам: \(r^2 = 5776\).

Извлечем квадратный корень: \(r = \sqrt{5776} = 76\).

Теперь мы можем найти диаметр основания: \(d = 2 \cdot r = 2 \cdot 76 = 152\).

Таким образом, диаметр основания конуса равен 152.

7. Мы знаем диаметр основания конуса \(d = 152\) и длину образующей \(l\). Нас интересует высота конуса, которую мы обозначим как \(h\).

Сначала найдем радиус основания конуса, используя формулу: \(r = \frac{d}{2}\).

Затем, с использованием теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, состоящего из радиуса, образующей и высоты, получим: \(l^2 = r^2 + h^2\).

Подставим значения: \(l^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + h^2\).

Выполняем вычисления: \(l^2 = \left(\frac{152}{2}\right)^2 + h^2\).

Упростим: \(l^2 = 76^2 + h^2\).

Нас интересует высота конуса, поэтому перенесем \(h^2\) в левую часть: \(h^2 = l^2 - 76^2\).

Далее, выполняем вычисления: \(h^2 = l^2 - 5776\).

Извлекая квадратный корень, мы получаем: \(h = \sqrt{l^2 - 5776}\).

Таким образом, высота конуса равна \(\sqrt{l^2 - 5776}\), где \(l\) - длина образующей.

Пожалуйста, если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь вам разобраться в школьных задачах!